【沪教版数学8年级下】 知识总结-第09讲正方形（核心考点讲与练）（沪教版）（解析版)
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第 09 讲正方形（核心考点讲与练）
一．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四
条对称轴．
二．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用 1或2进行判定．
三．正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
一．正方形的性质（共 8小题）
1．（2021 春•浦东新区期末）如图，正方形 ABCD 中，点 G是CD 边上的一点（点 G不与点 C，
点D重合），以 CG 为一边向正方形 ABCD 外做正方形 GCEF，联结 DE 交BG 的延长线于点
H．
（1）求证：BH⊥DE；
（2）若正方形 ABCD 的边长为 1，当点 H为DE 中点时，求 CG 的长．
【分析】（1）先由四边形 ABCD 和CGFE 是正方形求证△DCE≌△BCG，再得出 BG⊥DE．
（2）连接 BD，解题关键是利用垂直平分线的性质得出 BD＝BE，从而找到 BD＝ ，CE＝
BE﹣BC＝ ﹣1，根据全等三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：
∵正方形 ABCD，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
同理：CG＝CE，
∠GCE＝90°，
∴∠BCD＝∠GCE＝90°，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠GBC＝∠CDE，
在Rt△DCE 中∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠GBC+∠BEH＝90°，
∴∠BHE＝180°﹣（∠GBC+∠BEH）＝90°，
∴BH⊥DE；
（2）连接 BD，
∵点H为DE 中点，BH⊥DE，
∴BH 为DE 的垂直平分线，
∴BE＝BD，
∵BC＝CD＝1，
∴BD＝ ＝ ，
∴BE＝BD＝ ，
∵CE＝BE﹣BC＝ ﹣1，
∴CG＝CE＝ ﹣1．
【点评】此题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和线段的垂直平分线的性质等几何
知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．特殊图形的特殊性质要熟练
掌握．
2．（2021 春•金山区期末）如图，正方形 ABCD 的边长等于 4，对角线 AC、BD 相交于点 O，E
是DB 延长线上一点，∠BCE＝15°，那么△BCE 的面积等于 4 4﹣ ．
【分析】根据正方形的性质得到∠DBC＝45°，求出∠E＝30°，根据直角三角形的性质、勾股
定理计算即可．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠DBC＝45°，
∴∠E＝∠DBC﹣∠BCE＝30°，
∵AB＝BC＝4，
∴AC＝ ＝4，
∴OC＝OB＝ ，
∵∠E＝30°，
∴OE＝OC＝2，BE＝2 2﹣，
∴△BCE 的面积＝ ＝ （2 2﹣）×＝4 4﹣．
故答案为：4 4﹣．
【点评】本题考查的是正方形的性质、勾股定理，掌握正方形的对角线平分一组对角是解题
的关键．
3．（2020 秋•普陀区期末）如果存在一条直线将一个图形分割成两部分，使其中一部分图形按
某个方向平移后能够与另一部分重合，那么我们把这种图形称为平移重合图形，下列图形中，
不是平移重合图形的是（ ）
A．ㅤㅤ正方形
B．ㅤㅤ长方形
C．ㅤㅤ平行四边形
D．ㅤㅤ圆
【分析】证明平行四边形、长方形、正方形是平移重合图形即可．
【解答】解：如图，平行四边形 ABCD 中，取 BC，AD 的中点 E，F，连接 EF．
∵四边形 ABEF 向右平移可以与四边形 EFDC 重合，
∴平行四边形 ABCD 是平移重合图形，
∴长方形和正方形也是平移重合图形，
故选：D．
【点评】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4．（2021 秋•虹口区校级期末）如图，正方形 ABCD 边长为 2，CE∥BD，BE＝BD，则 CE＝
．
【分析】过点 E作EH⊥BC，交 BC 的延长线于点 H，由 CE∥BD 结合正方形的性质求得∠EC
H＝45°、BD＝BE＝2，从而得到△EFC 是等腰直角三角形，然后设 CH＝EH＝x，再结合
勾股定理求得 x的值，最后求得 CE 的长．
【解答】解：如图，过点 E作EH⊥BC，交 BC 的延长线于点 H，
∵CE∥BD，
∴∠ECH＝∠DBC，
∵四边形 ABCD 为正方形，且边长为 2，
∴∠DBC＝45°，BD＝2，
∴∠ECH＝45°，BE＝BD＝2，
∴△EHC 是等腰直角三角形，
设CH＝EH＝x，则 BH＝BC+CH＝2+x，
在Rt△BEH 中，EH2+BH2＝BE2，
∴x2+（2+x）2＝（2）2，
解得：x＝ ﹣1或x＝﹣ ﹣1（舍），
∴CH＝EH＝ ﹣1，
∴CE＝CE＝×（ ﹣1）＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了正方形的性质、平行线的性质、勾股定理，解题的关键是熟知正方形的
性质和等腰直角三角形三边的关系．
5．（2021 秋•浦东新区期中）如图，E、F分别为边长为 1的正方形 ABCD 边BC、CD 上的两个
动点，若∠EAF 的大小始终保持 45°不变，则△CEF 的周长为 2 ．
【分析】将△ABE 绕点 A顺时针旋转 90°，得到△ADG，证明△EAF≌△GAF（SAS），推出
EF＝GF 可得结论．
摘要：
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第09讲正方形（核心考点讲与练）一．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．二．正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．三．正方形的...
作者：张卫兵
分类：初中教育
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