【沪教版数学8年级下】 知识总结-第03讲 整式方程（核心考点讲与练）（沪教版）（解析版)
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第 03 讲 整式方程（核心考点讲与练）
一．含字母系数的一元一次方程
含字母系数的一元一次方程．
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日期：2022/2/12 21:24:56；用户：15921142042；邮箱：15921142042；学号：32447539
二．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于 2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转
化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于 5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四
则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次
方程可用根式求解．
一．高次方程（共 12 小题）
1．（2021 春•静安区期末）下列方程属于二项方程的是（ ）
A．x+1＝0 B． ﹣5＝0 C．x﹣＝0 D．x3﹣x＝1
【分析】根据二项方程的定义去判断和排除选项．如果一元 n次方程（n是正整数）的一边只
有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．
【解答】解：B选项未知数 x的次数不是正整数，所以不符合．
C选项除了含有 x的1次项还含有﹣1次项，所以不符合．
D选项除了常数项以外，含有 x的3次项和 1次项，所以不符合．
根据定义可以判断 x+1＝0是符合的，故选：A．
【点评】考查二项方程的概念：如果一元 n次方程（n是正整数）的一边只有含未知数的一项
和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．
2．（2020 春•金山区期中）二元二次方程组 的解的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】先由方程①求出 x，y的值，代入②，求解，即可得出结论．
【解答】解： ，
由①得x＝﹣1或y＝2，
当x＝﹣1时y＝1，
当y＝2时x＝±
所以方程组的解 ．
故选：C．
【点评】本题主要考查解方程的能力，体现数学中化归思想，消元和降次是解此类问题的关
键．
3．（2020 秋•杨浦区校级期中）若方程 x2+3xy 2﹣y2＝0的两个解是 x1＝y，x2＝
y，那么 x2+3xy 2﹣y2在实数范围内分解因式是（ ）
A．（x+2y）（x+y）
B．（x﹣）（x﹣）
C．（x﹣y）（x﹣y）
D．（x﹣y）（x﹣y）
【分析】直接根据 x2+3xy 2﹣y2＝（x﹣x1）（x﹣x2），进而分解因式即可．
【解答】解：∵方程 x2+3xy 2﹣y2＝0的两个解是 x1＝y，x2＝y，
∴x2+3xy 2﹣y2＝（x﹣y）（x﹣y），
故选：D．
【点评】本题考查了在实数范围内分解因式，若方程 ax2+px+q＝0的两根为 x1，x2，则 ax2+px
+q＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
4．（2021 春•奉贤区期末）如果一个二元二次方程的一个解是 ，那么这个二元二次方程可
以是 ．（只需写一个）
【分析】这是一个开放问题，给出二元二次方程组的解，只需要写出两个二次方程，让方程
的解满足方程即可．
【解答】解：因为方程组的解是： ，
我们可以写出两个关于 x和y的二元一次方程
．
故答案为： ．（答案不唯一）．
【点评】本题考查方程组解的概念，并非唯一答案，只需要所列方程组是二元二次方程组，
满足 就是可以的．
5．（2021 春•浦东新区期末）解方程组： ．
【分析】先把 x22﹣xy+y2＝1，化成（x﹣y）2＝1，直接开平方得 x﹣y＝1或x﹣y＝﹣1，与原
方程组组成二元一次方程组 或 ，求解二元一次方程组即可得出答案．
【解答】解：二元二次方程组 或 ，
∴原方程组的解为 ， ．
【点评】本题主要考查了二元二次方程组的解，根据题意先把二次方程降次为一次方程，再
组成二元一次方程组进行求解是解决本题的关键．
6．（2021 春•金山区校级月考）若方程组 没有实数解，求实数 k的取值范围．
【分析】把y＝x﹣k代入 x2﹣y＝﹣2得到 x2﹣x+k＝﹣2，根据根的判别式即可得到结论．
【解答】解：把 y＝x﹣k代入 x2﹣y＝﹣2得， x2﹣x+k＝﹣2，
∵方程 x2﹣x+k＝﹣2没有实数解，
∴△＝4 4﹣（2k+4）＝﹣8k12﹣＜0，
∴k＞﹣ ，
∴实数 k的取值范围是 k＞﹣ ．
【点评】本题考查了高次方程，根的判别式，正确的理解题意是解题的关键．
7．（2019 春•黄浦区期中）二元二次方程组 的解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先将第 1个方程变形为 x+2y＝0，x﹣y＝0，从而得到两个二元二次方程组，再分别
判断解的个数即可．
【解答】解： ，
由①得：（x+2y）（x﹣y）＝0，
x+2y＝0，x﹣y＝0，
与方程②组成新的方程组得：
， ，
第一个方程组无解，第二个方程组有两个解，
所以原方程组有两个解，
故选：B．
【点评】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，
用到的知识点是因式分解、代入法．
8．（2021 春•杨浦区期末）方程组 的解是 ．
【分析】解二元二次方程组，用代入消元转化成一元二次方程，解出方程即可．
【解答】解：
由①得：y＝x5 ﹣ ③，
将③代入②：x（x5﹣）＝﹣6，
整理得：x² 5﹣x+6＝0，
x1＝2，x2＝3．
将上述 x代入③，
得：y1＝﹣3，y2＝﹣2．
∴方程组的解： ．
摘要：
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第03讲整式方程（核心考点讲与练）一．含字母系数的一元一次方程含字母系数的一元一次方程．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/2/1221:24:56；用户：15921142042；邮箱：15921142042；学号：32447539二．高次方程（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．（2）高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四...
作者：张卫兵
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