【沪教版数学8年级下】 培优练习-08 数形结合之四边形中的线段最值问题压轴题综合（解析版）-【考点培优尖子生专用】（沪教版）
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编者小 k君小注：
本专辑专为 2022 年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中
等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前 4题；基础中等的学生必做前 4题、选做 5-8
题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题 08 数形结合之四边形中的线段最值问题压轴题综合（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在平行四边形 ABCD 中，∠C=120°，AD=2AB=4，点 H、G分别是边 CD、BC 上的动点．连
接AH、HG，点 E为AH 的中点，点 F为GH 的中点，连接 EF，则 EF 的最大值与最小值的差为（o
）
A．1 B．C．D．
【标准答案】C
【详解详析】
如图，取 AD 的中点 M，连接 CM、AG、AC，作 AN BC⊥于N．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∠BCD=120°，
D=180°- BCD=60°∴∠ ∠ ，AB=CD=2，
AM=DM=DC=2∵，
CDM∴△是等边三角形，
DMC= MCD=60°∴∠ ∠ ，AM=MC，
MAC= MCA=30°∴∠ ∠ ，
ACD=90°∴∠ ，
AC=2∴，
在Rt ACN△中，∵AC=2 ，∠ACN= DAC=30°∠，
AN=∴AC= ，
AE=EH∵，GF=FH，
EF=∴AG，
易知 AG 的最大值为 AC 的长，最小值为 AN 的长，
AG∴的最大值为 2，最小值为 ，
EF∴的最大值为 ，最小值为 ，
EF∴的最大值与最小值的差为 ．
点睛：本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形 30 度
角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD=90°，属
于中考选择题中的压轴题．
2．如图，正三角形 ABC 的边长为 3+ ，在三角形中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH，使得
D、E、F在边 AB 上，点 P、N分别在边 CB、CA 上，设两个正方形的边长分别为 m，n，则这两个正方
形的面积和的最小值为（ ）
A． B．C．3 D．
【标准答案】D
【思路指引】
设正方形 DEMN、正方形 EFPH 的边长分别为 m、n，它们的面积和为 S，根据等边三角形的性质得
∠A= B=60°∠，利用含 30 度的直角三角形三边的关系得 ， ，则
，所以 ， ，接着确定 m
的取值范围为： ，然后根据二次函数的性质求出 S的最小值．
【详解详析】
解：设正方形 DEMN、正方形 EFPH 的边长分别为 m、n，它们的面积和为 S，
ABC∵△为等边三角形，
A= B=60°∴∠ ∠ ， ，
在Rt ADN△中， ，
在Rt BPF△中， ，
BD+DE+EF+CF=AB∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵当点 M落在 AC 上，则正方形 DEMN 的边长最大，正方形 EFPH 的边长最小，
当点 H落在 BC 上，则正方形 DEMN 的边长最小，正方形 EFPH 的边长最大，
∴当点 M落在 AC 上时：
为正三角形，
在 中， ， ，
∴ ，解得
在 中， ，
BD+DE+EF+CF=AB∵，
∴
解得 ，
∴，
∴当 时，S最小，S的最小值为 ．
故选 D．
【名师指路】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公
共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三
角形；利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质、等边三角形的性质和二次函数的性质．
3．如图，在 ， ， ， ，点 P为斜边 上一动点，过点 P作 于点 ，
于点 ，连结 ，则线段 的最小值为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8
【标准答案】D
【思路指引】
连接 PC，当 CP AB⊥时，PC 最小，利用三角形面积解答即可．
【详解详析】
解：连接 PC，
PE AC∵ ⊥ ，PF BC⊥，
PEC= PFC= C=90°∴∠ ∠ ∠ ，
∴四边形 ECFP 是矩形，
EF=PC∴，
∴当PC 最小时，EF 也最小，
即当 CP AB⊥时，PC 最小，
AC=8∵，BC=6，
AB=10∴，
PC∴的最小值为：
∴线段 EF 长的最小值为 4.8．
故选：D．
【名师指路】
本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．
4．如图， 、 是正方形 的边 上的两个动点，满足 ，连接 交 于点 ，连接
交 于点 ，连接 ，若正方形的边长为 2，则线段 的最小值是（ ）
A．2 B．1 C．D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据正方形的性质可得 BC＝AD＝CD，∠BCD＝∠CDA，∠ACD＝∠ACB，然后利用“HL”证明 Rt△ADM
和Rt△BCN 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△DCE 和△BCE 全等，根
据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠DFA＝90°，取 AD 的中点 O，连
接OF、OC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OF＝AD＝1，利用勾股定理列式求出
OC，然后根据三角形的三边关系可知当 O、F、C三点共线时，CF 的长度最小．
【详解详析】
解：在正方形 ABCD 中，BC＝AD＝CD，∠BCD＝∠CDA＝90°，∠ACD＝∠ACB，
在Rt△ADM 和Rt△BCN 中，
，
Rt∴△ADM Rt≌ △BCN（HL），
1∴∠ ＝∠2，
在△DCE 和△BCE 中，
，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
2∴∠ ＝∠3，
1∴∠ ＝∠3，
∵∠ADF+ 3∠＝∠ADC＝90°，
1+∴∠ ∠ADF＝90°，
∴∠AFD＝180° 90°﹣＝90°，
取AD 的中点 O，连接 OF、OC，
则OF＝OD＝AD＝1，
在Rt△COD 中，OC＝ ，
当O、F、C三点不共线时，OC
－
OF＜CF，
当O、F、C三点共线时，OC
－
OF＝CF，
∴当O、F、C三点共线时，CF 的长度最小，
最小值＝OC﹣OF＝ ．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，
三角形的三边关系，确定出 CF 最小时点 F的位置是解题关键，也是本题的难点．
5．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E为BC 上一点，且 BE＝1，F为AB 边上的一个动点，连接 EF，
以EF 为边向右侧作等边△EFG，连接 CG，则 CG 的最小值为（ ）
A．0.5 B．2.5 C．D．1
【标准答案】B
【思路指引】
由题意分析可知，点 F为主动点，G为从动点，所以以点 E为旋转中心构造全等关系，得到点 G的运动
轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG 最小值．
【详解详析】
由题意可知，点 F是主动点，点 G是从动点，点 F在线段上运动，点 G也一定在直线轨迹上运动，
如图，将ΔEFB 绕点E旋转 60°，使 EF 与EG 重合，得到 ΔEFB ΔEHG≅，
从而可知 ΔEBH 为等边三角形，点 G在垂直于 HE 的直线 HN 上，
摘要：
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编者小k君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。专题08数形结合之四边形中的线段最值问题压轴题综合（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=2AB=4，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值...
作者：张卫兵
分类：初中教育
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时间：2024-10-11
