【沪教版数学8年级下】 培优练习-06 模型方法之平行四边形常考模型综合（解析版）-【考点培优尖子生专用】（沪教版）
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编者小 k君小注：
本专辑专为 2022 年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中
等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前 4题；基础中等的学生必做前 4题、选做 5-8
题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题 06 模型方法之平行四边形常考模型综合（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，将 n个边长都为 2的正方形按如图所示摆放，点 A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这 n个
正方形重叠部分的面积之和是（ ）
A．nB．n－1 C．（ ）n－1D．n
【标准答案】B
【思路指引】
过中心作阴影另外两边的垂线可构建两个全等三角形（ASA），由此可知阴影部分的面积是正方形的面
积的 ，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则 n个这样的正方形重叠部分即为（n-1）个阴影部分的
和，即可求解．
【详解详析】
如图作正方形边的垂线，
由ASA 可知同正方形中两三角形全等，
利用割补法可知一个阴影部分面积等于正方形面积的 ，
即是 ，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为： ．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质．解题的关键是得到 n个这样的正方形重叠部分
（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
2．如图，四边形 AFDC 是正方形， 和 都是直角，且 E，A，B三点共线， ，则图中
阴影部分的面积是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【标准答案】C
【思路指引】
易证△AEC FBA≌△ ，得 AB=EC，即可求得．
【详解详析】
∵四边形 AFDC 是正方形
AC=AF∴，∠FAC=90°
CAE+ FAB=90°∴∠ ∠
又∵∠CAE+ ACE=90°∠
ACE= FAB∴∠ ∠
又∵∠CEA= FBA=90°∠
AEC FBA∴△ ≌△
AB=EC=4∴
∴图中阴影部分的面积=
故选 C
【名师指路】
本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
3．如图，正方形 ABCD 的边长为 3，E为BC 边上一点，BE＝1.将正方形沿 GF 折叠，使点 A恰好与点 E
重合，连接 AF，EF，GE，则四边形 AGEF 的面积为（ ）
A．2 B．2 C．6 D．5
【标准答案】D
【思路指引】
作FH⊥AB 于H，交 AE 于P，设 AG=GE=x，在 Rt△BGE 中求出 x，在 Rt△ABE 中求出 AE，再证明
△ABE≌△FHG，得到 FG=AE，然后根据 S四边形 AGEF=S△AGF+S△EGF 求解即可
【详解详析】
解：作 FH⊥AB 于H，交 AE 于P，则四边形 ADFH 是矩形，由折叠的性质可知，
AG=GE，AE⊥GF，AO=EO．
设AG=GE=x，则 BG=3-x，
在Rt△BGE 中，
∵BE2+BG2=GE2，
1∴2+(3-x)2=x2，
∴x=．
在Rt△ABE 中，
∵AB2+BE2=AE2，
3∴2+12=AE2，
∴AE=．
∵∠HAP+∠APH=90°，∠OFP+∠OPF=90°，∠APH=∠OPF，
∴∠HAP=∠OFP，
∵四边形 ADFH 是矩形，
∴AB=AD=HF．
在△ABE 和△FHG 中，
，
∴△ABE≌△FHG，
∴FG=AE=，
∴S四边形 AGEF=S△AGF+S△EGF
=
=
=
=
=5．
故选 D．
【名师指路】
本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，三角形的面积，以及勾股定理等知识，熟
练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
4．如图， 为等边三角形，以 为边向外作 ，使 ，再以点 C为旋转中心把
旋转到 ，则给出下列结论：① D，A，E三点共线；② 平分 ；③ ；④
．其中正确的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【标准答案】D
【思路指引】
①设∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC= 4=∠（x+60）度，∠3=60°加起来等于 180 度，即可证明
D、A、E三点共线；
②根据△BCD 绕着点 C按顺时针方向旋转 60°得到△ACE，判断出△CDE 为等边三角形，求出
∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知 DC 平分∠BDA；
③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，从而得到∠E=∠BAC．
④由旋转可知 AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE 为等边三角形，DC=DE=DB+BA．
【详解详析】
解：如图，
①设∠1=x度，则∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，
2+ 3+ 4=60-∴∠ ∠ ∠ x+60+x+60=180 度，
∴D、A、E三点共线；故①正确；
②∵△BCD 绕着点 C按顺时针方向旋转 60°得到△ACE，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∴△CDE 为等边三角形，
∴∠E=60°，
∴∠BDC=∠E=60°，
∴∠CDA=120°-60°=60°，
∴DC 平分∠BDA；故②正确；
③∵∠BAC=60°，
∠E=60°，
∴∠E=∠BAC．故③正确；
④由旋转可知 AE=BD，
又∵∠DAE=180°，
∴DE=AE+AD．
∵△CDE 为等边三角形，
∴DC=DB+DA．故④正确；
故选：D．
【名师指路】
本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质等相关知识，要注意旋转不变性，找到变化过程中的不变量．
5．如图，有一正方形的纸片 ABCD，边长为 6，点 E是DC 边上一点且 DC＝3DE，把 ADE 沿AE 折叠
使ADE 落在 AFE 的位置，延长 EF 交BC 边于点 G，连接 BF 有以下四个结论：
①∠GAE＝45°；
②BG+DE＝GE；
③点G是BC 的中点；
④连接 FC，则 BF⊥FC；
其中正确的结论序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③
【标准答案】A
【思路指引】
先计算出 DE＝2，EC＝4，再根据折叠的性质 AF＝AD＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝
∠DAE，然后根据“HL”可证明 Rt△ABG≌Rt△AFG，则 GB＝GF，∠BAG＝∠FAG，所以∠GAE＝
∠BAD＝45°；GE＝GF+EF＝BG+DE；设 BG＝x，则 GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x，在 Rt△CGE 中，根
据勾股定理得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得 x＝3，则 BG＝CG＝3，则点 G为BC 的中点；同时得到 GF
＝GC，根据等腰三角形的性质得∠GFC＝∠GCF，再由 Rt△ABG≌Rt△AFG 得到∠AGB＝∠AGF，然后
根据三角形外角性质得∠BGF＝∠GFC+∠GCF，易得∠AGB＝∠GCF，根据平行线的判定方法得到
CF∥AG，再证出 AG⊥BF，即可得出 BF∥FC．
【详解详析】
解：连接 AG，AG 和BF 交于 H，如图所示：
∵正方形 ABCD 的边长为 6，DC＝3DE，
∴DE＝2，EC＝4，
∵把△ADE 沿AE 折叠使△ADE 落在△AFE 的位置，
∴AF＝AD＝AB＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝∠DAE，
在Rt△ABG 和Rt△AFG 中， ，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴GB＝GF，∠BAG＝∠FAG，
∴∠GAE＝∠FAE+∠FAG＝ ∠BAD＝45°，①正确；
∴GE＝GF+EF＝BG+DE，②正确；
设BG＝x，则 GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x，
在Rt△CGE 中，GE＝x+2，EC＝4，CG＝6﹣x，
∵CG2+CE2＝GE2，
∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得 x＝3，
∴BG＝3，CG＝6 3﹣＝3，
∴BG＝CG，即点 G为BC 的中点，③正确；
∴GF＝GC，
∴∠GFC＝∠GCF，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB＝∠AGF，
而∠BGF＝∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB+∠AGF＝∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB＝∠GCF，
∴FC∥AG，
∵AB＝AF，BG＝FG，
∴AG⊥BF，
摘要：
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编者小k君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。专题06模型方法之平行四边形常考模型综合（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图，将n个边长都为2的正方形按如初示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（ ）A．nB．n－1C．（）n－1D．n【标准答案】B【思路指引】过中...
作者：张卫兵
分类：初中教育
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时间：2024-10-11
