【沪教版数学8年级下】 培优练习-03 几何思想之三角形中位线的应用（解析版）-【考点培优尖子生专用】（沪教版）
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编者小 k君小注：
本专辑专为 2022 年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中
等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前 4题；基础中等的学生必做前 4题、选做 5-8
题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题 03 几何思想之三角形中位线的应用（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，将三角形纸片 沿过 边中点 D、E的线段 折叠，点 A落在 边上的点 F处，下
列结论中，一定正确的个数是（ ）
①是等腰三角形 ② ③四边形 是菱形 ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】C
【思路指引】
根据菱形的判定和等腰三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．
【详解详析】
解：①∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠EDF＝∠BFD，
又∵△ADE≌△FDE，
∴∠ADE＝∠EDF，AD＝FD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BFD，
∴△BDF 是等腰三角形，故①正确；
同理可证，△CEF 是等腰三角形，
∴BD＝FD＝AD，CE＝FE＝AE，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE=BC，故②正确；
∵∠B＝∠BFD，∠C＝∠CFE，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B+∠BFD+∠BDF＝180°，∠C+∠CFE+∠CEF＝180°，
∴∠BDF+∠FEC＝2∠A，故④正确．
而无法证明四边形 ADFE 是菱形，故③错误．
所以一定正确的结论个数有 3个，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了菱形的判定，中位线定理，等腰三角形的判定和性质，菱形的判别方法是说明一个四边形为
菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需
要根据已知条件来确定．
2．如图，在矩形 ABCD 中，点 E从点 B开始，沿矩形的边 运动， ， ，连接 CE 与
对角线 BD 相交于点 N，F是线段 CE 的中点，连接 OF，则 OF 长度的最大值是（ ）．
A．1 B．C．2 D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据三角形中位线定理,可得 OF=EA,当点 E在AB 上运动时,EA 逐渐变小,当点 E在AD 上运动时,EA 逐渐
变大,当与点 D重合时,最大,解答即可．
【详解详析】
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴OA=OC，
∵F是线段 CE 的中点，
∴OF 是△ACE 的中位线，
∴OF=EA，
当点 E在AB 上运动时,EA 逐渐变小,OF 不会有最大值；
当点 E在AD 上运动时,EA 逐渐变大,当点 E与点 D重合时,AD 最大，且 AD=4，
∴OF 的最大值时 2，
故选 C．
【名师指路】
本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，分类思想，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
3．如图，矩形 中， 交 于点 ，点 在 上，连接 交 于点 ，且
，若 ，则 的值为（ ）
A．B．4 C．D．
【标准答案】D
【思路指引】
连接 AC 交BD 于点 O，连接 OG，令 BD 与CF 交于点 M，根据矩形的性质，三角形中位线定理，平行线
的性质，对顶角相等和余角的性质可得∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD，设 OG=GM=x，则
CG=GF=AF=2x，用 x表示出 CD 和AD，利用勾股定理列出方程即可解答．
【详解详析】
解：连接 AC 交BD 于点 O，连接 OG，令 BD 与CF 交于点 M，
∵GF=AF，
∴∠FAG=∠FGA，
∵四边形 ABCD 为矩形，
∴BD=AC=，OB=OD，
∵CG=GF，
∴OG 为△CAF 的中位线，
∴AF=2OG，OG∥AD，
∴∠FDM=∠MOG，
∵AE⊥BD，
∴∠FGA+∠GMO=90°，∠MDF+∠FAG=90°，
∴∠GMO=∠MDF，
∴∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD，
∴OG=GM，FM=FD，
设OG=GM=x，则 CG=GF=AF=2x，
∴FD=FM=FG-MG=2x-x=x，
∴CF=4x，AD=3x，
在Rt△DCF 中，由勾股定理得，
CD= = ，
在Rt△ADC 中，由勾股定理得，
DC2+AD2=AC2，
即15x2+9x2=48，
解得 x=，
∴CD=x=，
故选：D．
【名师指路】
本题考查了矩形的性质，解题的关键是根据矩形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，对顶角相
等和余角的性质可得∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD．
4．如图，▱ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AE 平分∠BAD，分别交 BC、BD 于点 E、P，连接
OE，∠ADC＝60°，BC＝2AB＝4，则下列结论：① AD＝4OE；② BD＝2；③ 30°＜∠BOE＜45°；④
S△AOP＝ ．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【标准答案】A
【思路指引】
①先根据角平分线和平行线的性质得：∠BAE＝∠BEA，则 AB＝BE＝2，由有一个角是 60 度的等腰三角
形是等边三角形得：△ABE 是等边三角形，即可得到 E为BC 中点，再根据中位线定理得到 AB=2OE，即
AD=4OE ；②先根据三角形中位线定理得：OE＝AB＝1，OE∥AB，根据勾股定理计算 OC，OD 的长，
即可求 BD 的长；③根据大角对大边进行计算求解即可得到答案；④过点 P分别作 PM⊥AB 于
M，PN⊥AD 于N可以得到 即可求得 ，由此求出 即可得出结论．
【详解详析】
解：∵AE 平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，AD=BC,OA=OC,
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝2，
∴△ABE 是等边三角形，
∴AE＝BE＝2，
∵BC＝4，
∴EC＝2，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
∴∠BAC＝∠DCA＝90°，
∵CE＝BE＝2
∴E为BC 的中点
∴OE 为△ABC 的中位线
∴OE=AB=1，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝90°，
∵BC＝2AB
∴BC=4OE
∴AD=4OE
∴①正确
Rt△EOC 中，OC＝ ，
在Rt△OCD 中，OD＝
BD＝2OD＝2
故②正确
在Rt△AOE 中，∵AE 是斜边
∴AE＞AO
∴AB＞AO
∴∠AOB＞
∠
ABO
∴∠AOB＞45°
∴∠BOE=90°-∠AOB＜45°
∵OE=
∴∠BOE＞∠OBE
∵∠ACB=30°，∠EOC=90°
∴∠OEC=60°
∴∠OEB=120°
∴∠BOE +∠OBE=60°
∴∠BOE＞30°
∴③正确
过点 P分别作 PM⊥AB 于M，PN⊥AD 于N
∴PM=PN（角平分线的性质）
∴
∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴
∴
∴
摘要：
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编者小k君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。专题03几何思想之三角形中位线的应用（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图，将三角形纸片沿过边中点D、E的线段折叠，点A落在边上的点F处，下列结论中，一定正确的个数是（）①是等腰三角形②③四边形是菱形④A．1B．2C．3D．4【标准答案】C【思路指引】根据菱形的判定和...
作者：张卫兵
分类：初中教育
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时间：2024-10-11
