【沪教版数学8年级下】 课时练习-22.15正方形的性质与判定大题专练（解析版）【沪教版】
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2021-2022 学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪教版】
专题 22.15 正方形的性质与判定大题专练
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一．解答题（共 24 小题）
1．（2021 春•浦东新区期末）如图，在正方形 ABCD 中，P是对角线 BD 上的一点，点 E在边 AD 的延长
线上，且 PA＝PE，PE 交CD 于点 F．
（1）求证：PA＝PC；
（2）求证：PC⊥PE．
【分析】（1）欲证明 PC＝PE，只要证明△ADP≌△CDP 即可．
（2）作 PM⊥AE，PN⊥CD，再证 Rt△PME Rt≌ △PNC，得∠MPE＝∠NPC 和∠MPN＝∠MPE+∠NPE
＝∠NPC+∠NPE＝∠EPC＝90°，由此解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，
在△ADP 和△CDP 中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴PA＝PC，
（2）作 PM⊥AE 于M，PN⊥CD 于N，
∵PD 平分∠ADC，
∴PM＝PN，
∵∠ADC＝90°，
∴PNDM 是矩形，∠MPN＝90°，
在Rt△PME 和Rt△PMC 中，PC＝PE，PM＝PN，
Rt∴△PME Rt≌ △PNC（HL），
∴∠MPE＝∠NPC，
∴∠MPN＝∠MPE+∠NPE＝∠NPC+∠NPE＝∠EPC＝90°．
∴PC⊥PE．
2．（2021 春•浦东新区期末）如图，正方形 ABCD 中，点 G是CD 边上的一点（点 G不与点 C，点 D重
合），以 CG 为一边向正方形 ABCD 外做正方形 GCEF，联结 DE 交BG 的延长线于点 H．
（1）求证：BH⊥DE；
（2）若正方形 ABCD 的边长为 1，当点 H为DE 中点时，求 CG 的长．
【分析】（1）先由四边形 ABCD 和CGFE 是正方形求证△DCE≌△BCG，再得出 BG⊥DE．
（2）连接 BD，解题关键是利用垂直平分线的性质得出 BD＝BE，从而找到 BD＝ ，CE＝BE﹣BC＝
﹣1，根据全等三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：
∵正方形 ABCD，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
同理：CG＝CE，
∠GCE＝90°，
∴∠BCD＝∠GCE＝90°，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠GBC＝∠CDE，
在Rt△DCE 中∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠GBC+∠BEH＝90°，
∴∠BHE＝180°﹣（∠GBC+∠BEH）＝90°，
∴BH⊥DE；
（2）连接 BD，
∵点H为DE 中点，BH⊥DE，
∴BH 为DE 的垂直平分线，
∴BE＝BD，
∵BC＝CD＝1，
∴BD＝ ＝ ，
∴BE＝BD＝ ，
∵CE＝BE﹣BC＝ ﹣1，
∴CG＝CE＝ ﹣1．
3．（2019•奉贤区二模）已知：如图，正方形 ABCD，点 E在边 AD 上，AF⊥BE，垂足为点 F，点 G在线
段BF 上，BG＝AF．
（1）求证：CG⊥BE；
（2）如果点 E是AD 的中点，联结 CF，求证：CF＝CB．
【分析】（1）证明△AFB≌△BGC，通过角的代换即可得到∠BGC＝90°，即 CG⊥BE；
（2） 先 证 明 △ AEB∽△FAB ， 得 到 ， 根 据 中 点 线段 关 系 结 合 比例 式 推 导 出 FG ＝BG ，又
CG⊥BE，所以 CF＝CB．
【解答】证明：（1）∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°．
∵AF⊥BE，
∴∠FAB+∠FBA＝90°．
∵∠FBA+∠CBG＝90°，
∴∠FAB＝∠CBG．
又∵AF＝BG，
∴△AFB≌△BGC（SAS）．
∴∠AFB＝∠BGC．
∴∠BGC＝90°，∴CG⊥BE．
（2）∵∠ABF＝∠EBA，∠AFB＝∠BAE＝90°，
∴△AEB∽△FAB．
∴．
∵点E是AD 的中点，AD＝AB，
∴＝ ．
∵AF＝BG，
∴，即 FG＝BG．
∵CG⊥BE，
∴CF＝CB．
4．（2019 春•浦东新区期末）如图，一次函数 y＝2x+4 的图象与 x、y轴分别相交于点 A和B，以 AB 为边
作正方形 ABCD．
（1）求点 A、B、D的坐标．
（2）设点 M在x轴上，如果△ABM 为等腰三角形，求点 M的坐标．
摘要：
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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪教版】专题22.15正方形的性质与判定大题专练姓名：__________________班级：______________得分：_________________一．解答题（共24小题）1．（2021春•浦东新区期末）如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在边AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．（1）求证：PA＝PC；（2）求证：PC⊥PE．【分析】（1）欲证明PC＝PE，只要证明△ADP≌△CDP即可．（2）作PM⊥AE，PN⊥CD，再证Rt△PMERt≌△PNC，得∠MPE＝∠NPC和∠MPN＝∠MPE+...
作者：张卫兵
分类：初中教育
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