【沪教版数学9年级上】 习题试卷-相似三角形压轴题（最新题源）（上海精编）（沪教版）（解析版）

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3.0 张卫兵 2024-09-30 5 4 2.88MB 92 页 5积分
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相似三角形压轴题（最新题源）
一、解答题
1．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）有一张矩形纸片 ABCD，已知 AB＝2，AD＝5．把这张纸片
折叠，使点 A落在边 BC 上的点 E处，折痕为 MN，MN 交边 AB 于M，交边 AD 于N．
（1）若 BE＝ ，求这时 AM 的长；
（2）点 E在边 BC 上运动时，设 BE＝x，AN＝y，试求 y关于 x的函数解析式，并写出定义域；
（3）连结 DE，是否存在这样的点 E，使得△AME 与△DNE 相似？若存在，请求出这时 BE 的长；若不存在，
请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ，且 ；（3）
【分析】
（1）根据折叠的性质可得， ，再由勾股定理求解即可；
（2）根据折叠的性质和勾股定理可得 ，根据折叠的性质可证 ，得到 ，
推出 ，根据 ， 的取值范围，求出定义域即可；
（3）根据等腰三角形和相似三角形的性质，得到 ，然后求解即可．
【解析】
解：（1）根据题意，画出图形，如下：
由折叠的性质可得
设 ，则 ，
由勾股定理得， ，即
解得 ，即
（2）设 ，则 ，
由勾股定理得， ，即
解得 ，即
在矩形 中，
∴
由折叠的性质可得 ，∴
∴
∴
∴，即
解得
∵，
∴，
化简得 ，解得
∴
∴，且
（3）由题意可得， ，∴
若△AME 与△DNE 相似，则
由（2）得 ，∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴，
∴
∴
由（2）得 ，化简得
解得 或
又∵
∴，即
【点睛】
此题考查了矩形的折叠问题，涉及了勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性
质以及一元二次方程的求解，一元二次不等式的求解，解题的关键是灵活运用相关知识和性质进行求解．
2．（2021·上海市奉贤区尚同中学九年级期中）如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，
点D是斜边 AB 上的动点，联结 CD，作 DE⊥CD 交射线 CB 于点 E，设 AD＝x．
（1）当点 D是边 AB 的中点时，求线段 DE 的长；
（2）当△BED 是等腰三角形时，求 x的值；
（3）如果 ，求 y关于 x的函数解析式，并写出它的定义域．
【答案】（1） ；（2） 或 2；（3） （0＜x＜10）
【分析】
（1）先由勾股定理求出 BC 的长，再由 D为斜边上的中点，找条件证明△EDC∽△ACB 即可求出 DE 的长；
（2）分 E在BC 边上和延长线上两种情况考虑，利用等腰三角形的性质计算即可；
（3）作 DM 垂直于 BC，得到 DM 与AC 平行，由平行得比例，表示出 DM 与BM，进而表示出 CD 与CM，
由三角形 DEM 与三角形 CDM 相似得比例，表示出 DE，由 BD=AB-AD=10-x，将 DE 与DB 代入表示出 y，化
简得到结果，并求出 x的范围即可．
【解析】
（1）在△ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10，AC＝6，
∴BC=8，
∵点D为斜边 AB 的中点，
∴CD=AD=BD=5，
∴∠DCB=∠DBC，
∵∠EDC=∠ACB=90°，
∴△EDC∽△ACB，
∴，即 ，
解得 ；
（2）分两种情况情况：
（i）当 E在BC 边上时，
∵△BED 为等腰三角形，∠BED 为钝角，
∴EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EDC=∠ACB=90°，
∴∠CDA=∠A，
∴CD=AC，
作CH⊥AB，垂足为 H，
那么 AD=2AH，
∴
∴，
∴，
即 ；
（ii）当 E在CB 延长线上时，
∵△BED 为等腰三角形，∠DBE 为钝角，
∴BD=BE，
∴∠BED=∠BDE，
∵∠EDC=90°，
∴∠BED+∠BCD=∠BDE+∠BDC=90°，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BD=BC=8，
∴AD=x=AB-BD=10-8=2；
综上所述，当△BED 是等腰三角形时，x的值为 或 2
（3）作 DM⊥BC，垂足为 M，
∵DM∥AC，
∴，
∴，
∴
∴，
∵△DEM∽△CDM，
∴
∴
∴，
整理得： （0＜x＜10）．
【点睛】
此题属于相似型综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，直角
三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的判定与性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握相似三角形的判
定与性质是解本题的关键．
3．（2021·上海市奉贤区育秀实验学校九年级期中）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝
4，AD 是BC 边上的高，点 E、F分别是 AB 边和 AC 边上的动点，且∠EDF＝90°．
（1）（图 1）求 DE：DF 的值；
（2）（图 2）连结 EF，射线 DF 与射线 BA 相交于点 G，当△EFG 是等腰三角形时，求 CF 的长度；
（3）（图 3）连结 EF，设点 B与点 E间的距离为 x，△DEF 的面积为 y，求 y关于 x的函数解析式，并写出
x的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】
（1）先用勾股定理求出 ，然后利用面积法求出 ，即可求出 ，证明△EAD∽△FCD，
即可得到 ；
（2）先证明当△EFG 是等腰三角形的时候，只存在 EF=GF 这种情况，再由等腰三角形的性质和直角三角形
斜边上的中线等于斜边的一半得到 ，再由△AED∽△CFD，得到 ，
则 ；
（3）由 ，AB=3，则 ，根据△AED∽△CFD，得到 ，可以求
得 ， ，则 ，再由 ，得
到 ，由 ，可得 ， ，则
．
【解析】
解：（1）∵在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴，
∵AD 是BC 边上的高，
∴，∠ADC=∠ADB=90°，
∴，
∴，
∵∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠EDF-∠ADF=∠ADC-∠ADF 即∠ADE=∠CDF，
∵∠B+∠C=180°-∠BAC=90°，∠B+∠EAD=180°-∠ADB=90°，
∴∠EAD=∠C，
∴△EAD∽△FCD，
∴；
（2）如图所示，∵∠EFG=∠FDE+∠FED＞90°，
∴当△EFG 是等腰三角形的时候，只存在 EF=GF 这种情况，
∵EF=GF，FA⊥EG，
∴A为EG 的中点，
∵在直角三角形 EDG 中，A为EG 的中点，
∴，
∵△AED∽△CFD，
∴，
∴；
（3）∵ ，AB=3，
∴，
∵△AED∽△CFD，
∴，
∴， ，
∴，
在直角三角形 AEF 中， ，
∴
在直角三角形 DEF 中， ，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴
【点睛】
摘要：

相似三角形压轴题（最新题源）一、解答题1．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，AD＝5．把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交边AB于M，交边AD于N．（1）若BE＝，求这时AM的长；（2）点E在边BC上运动时，设BE＝x，AN＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）连结DE，是否存在这样的点E，使得△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2），且；（3）【分析】（1）根据折叠的性质可得，，再由勾股定理求解即可；（2）根据折叠的性质和勾股定理可得，根据折叠的性质...

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