【沪科版数学9年级上】 专项练习-专题06 二次函数的新定义问题专训（解析版）

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3.0 李吉 2024-09-30 5 4 3.67MB 82 页 5积分
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专题 06 二次函数的新定义问题专训
【精选最新 40 道二次函数的新定义问题专训】
1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）定义 表示不超过实数 的最大整数，如 ， ，
，则方程 的解有()个
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据新定义和函数图象讨论：当 时，则 ；当 时，则 ，当
时，则 ；当 时，则 ；然后分别解关于 的一元二次方程即可．
【详解】解：：当 时，则 ，解得：
当 时，则 ，无解
当 时，则 ，解得 ；
当 时，则 ，无解；
当 时，则 ，解得 ，故有 1个解；
综上所述，方程 的解有 3个；
;
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义运算与二次函数的性质，根据题意建立方程是解题的关键．
2．（2023 春·山东济宁·九年级校考阶段练习）对于任意的实数 m、n，定义符号 的含义为 m，n
之间的最大值，如 ， ．定义一个新函数： ，则
时，x的取值范围为（）
A． 或 B． 或 C．D． 或
【答案】D
【分析】符号 的含义是取较大的值．则本题实为函数比较大小的问题，联立方程 ，
画出函数图象，根据求得交点坐标，进而即可求解．
【详解】解：令 ，
如图所示，则 的值为函数较大的值，
∴比较两个函数的交点，较大的 y值即为最大值．
联立方程 
解得
令 ，
解得， ，
令 ，解得： ，
∴当 时， 或
故选：D
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的图像和性质，正确画出函数图象是解答本题的关键．
3．（2023 秋·河南开封·九年级校考阶段练习）定义一种新函数，形如 （a≠0 且 ）
的函数叫做“鹊桥”函数，某同学画出函数 的图象如图．并写出了下列结论：
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线 x＝1；
③当﹣1≤x≤1 或x≥3 时，y随x的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3函数有最小值是 0；
⑤当x＝1时函数的最大值是 4．
其中正确结论的个数是（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】将 分别代入求得于坐标轴的交点可得①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，
对称轴是直线 x=1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当-1≤x≤1 或x≥3 时，函数值 y随x值的增
大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与 x轴的两个交点，根据 y=0，求出相应的 x的值为
x=-1 或x=3，因此④也是正确的；从图象上看，当 x＜-1 或x＞3，函数值要大于当 x=1 时的
，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．
【详解】解：①∵令 ，得 ，
令 ，则
解得
∴与坐标轴的交点为（-1，0），（3，0）和（0，3），
∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴为直线 ，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当-1≤x≤1 或x≥3 时，函数值 y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与 x轴的两个交点，根据 y=0，求出相应的 x的值为 x=-1 或x=3，因此④也是正
确的；
⑤从图象上看，当 x＜-1 或x＞3，存在函数值要大于当 x=1 时的 ，因此⑤是不正确的；
故正确的为：①②③④．
故选 C．
【点睛】考查了二次函数图象与 x轴的交点问题，理解“鹊桥”函数 的意义，掌握“鹊桥”
函数与 与二次函数 之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的
关键；二次函数 与 x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．
4．（2023·广东·统考二模）新定义： 为二次函数 （ ，a，b，c为实数）的“特
征数”，如： 的“特征数”为 ．若“特征数”为 的二次函数的图象
与 轴只有一个交点，则 的值为（）
A． 或 2 B．C．D．2
【答案】C
【分析】把特征数 代入 中，得 ，求出 m的值即可．
【详解】解：∵ 是二次函数 的特征数，
∴
∵抛物线 的图象与 轴只有一个交点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了抛物线与 x轴的交点，把求二次函数 （ ，a，b，c为实数）与
x轴的交点坐标问题转化为解关于 m的一元二次方程是解答本题的关键．
5．（2023·湖南岳阳·校联考一模）在平面直角坐标系中，对于点 和 ，给出如下新定义，
若 则称点 是点 的限变点，例如：点 的限变点是 ，点
的限变点是 ，若点 在二次函数 的图象上，则当 时，其
限变点 的纵坐标 的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别求出当 和 时 n的取值范围即可．
【详解】解：由题意知：当 时， ，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴当 时， ，
∴当 时，其限变点 的纵坐标 的取值范围是 ，
故选 D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到 关于 m的
函数．
6．（2023·福建·模拟预测）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的 2倍，则称这个点为二倍点．若二次函
数 （c为常数）在 的图象上存在两个二倍点，则 c的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由点的纵坐标是横坐标的 2倍可得二倍点在直线 上，由 可得二倍点所在线段
的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．
【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为 ，
将 代入 得 ，
将 代入 得 ，
设 ， ，如图，
联立方程 ，
当△时，抛物线与直线 有两个交点，
即 ，
解得 ，
此时，直线 和直线 与抛物线交点在点 ， 上方时，抛物线与线段 有两个交点，
把 代入 得 ，
把 代入 得 ，
，
解得 ，
满足题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转
化为图形问题求解．
7．（2023·山东济南·统考一模）定义：对于二次函数 y＝ax2+（b+1）x+b2﹣（a≠0），若存在自变量 x0，
使得函数值等于 x0成立，则称 x0为该函数的不动点，对于任意实数 b，该函数恒有两个相异的不动点，则
实数 a的取值范围为（　　）
A．0＜a＜2 B．0＜a≤2 C．﹣2＜a＜0 D．﹣2≤a＜0
【答案】A
【分析】若存在自变量 x0，使得函数值等于 x0成立，即恒有两个不相等的实数解，可设 x为不动点，使 y
＝x，可得关系式 ax2+bx+b2﹣＝0，由恒有两个相异的不动点知△＞0，即得 a的取值范围．
【详解】解：由题意可知方程 x＝ax2+（b+1）x+b2﹣（a≠0），恒有两个不相等的实数解，
则△＝b24﹣a（b2﹣）＝b24﹣ab+8a＞0，对任意实数 b恒成立，
把b24﹣ab+8a看作关于 b的二次函数，
则有△1＝（4a）24×8﹣a＝16a232﹣a＝16a（a2﹣）＜0，令 16a（a2﹣）＝0，
解得 a＝0或a＝2，
①当a≥2 时，16a＞0，a2≥0﹣，即 16a（a2﹣）≥0，
②当a≤0 时，16a≤0，a2﹣＜0，即 16a（a2﹣）≥0，
0③＜a＜2时，16a＞0，a2﹣＜0，即 16a（a2﹣）＜0，
即16a（a2﹣）＜0的解集，
解得 0＜a＜2，
故选 A．
【点睛】本题考查二次函数图象与一元二次方程的关系，熟练掌握根的判别式结合问题进行求解，认真理
解新定义渗透的数学问题是关键．
8．（2023 秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为
“互异二次函数”．如图，在正方形 OABC 中，点 A（0，2），点 C（2，0），则互异二次函数 y＝（x﹣
m）2﹣m与正方形 OABC 有交点时 m的最大值和最小值之差为（）
A．5 B．C．4 D．
【答案】B
【分析】画出图象，从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点
A，再逐渐经过点 O，点 B，点 C，最后再经过点 B，且在运动的过程中，两次经过点 A，两次经过点 O，
点B和点 C，只需算出当函数经过点 A及点 B时m的值，即可求出 m的最大值及最小值．
【详解】解：如图，由题意可得，互异二次函数 y＝（x−m）2−m的顶点（m，−m）在直线 y＝−x上运动，
在正方形 OABC 中，点 A（0，2），点 C（2，0），
∴B（2，2），
从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点 A，再逐渐经过
点O，点 B，点 C，最后再经过点 B，且在运动的过程中，两次经过点 A，两次经过点 O，点 B和点 C，
∴只需算出当函数经过点 A及点 B时m的值，即可求出 m的最大值及最小值．
当互异二次函数 y＝（x−m）2−m经过点 A（0，2）时，m＝2或m＝−1；
当互异二次函数 y＝（x−m）2−m经过点 B（2，2）时，m＝ 或 m＝ ．
∴互异二次函数 y＝（x−m）2−m与正方形 OABC 有交点时 m的最大值和最小值分别是 ，−1，
∴m的最大值和最小值之差为
故选：B．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数图象性质．解答关键是研究动点到达临界点时图形的变
化，从而得到临界值．
9．（2020 秋·安徽亳州·九年级统考阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，过一点 P分别作坐标轴的垂线，
这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点 P叫作和谐点，所围成的矩形叫
作和谐矩形．已知点 P是抛物线 上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则 k的值可以是
摘要：

专题06二次函数的新定义问题专训【精选最新40道二次函数的新定义问题专训】1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解有(    )个A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据新定义和函数图象讨论：当时，则；当时，则，当时，则；当时，则；然后分别解关于的一元二次方程即可．【详解】解：：当时，则，解得：当时，则，无解当时，则，解得；当时，则，无解；当时，则，解得，故有1个解；综上所述，方程的解有3个；;故选：C．【点睛】本题考查了新定义运算与二次函数的性质，根据题意建立方程是解题的关键．2．（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）对于任...

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