【沪科版数学9年级上】 专项练习-专题09 相似三角形的判定与性质（10大题型）（解析版）

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3.0 李吉 2024-09-30 5 4 5.54MB 98 页 5积分
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专题 09 相似三角形的判定与性质（10 大题型）
【题型目录】
题型一 证明两三角形相似
题型二 选择或补充条件使两个三角形相似
题型三 重心的有关性质
题型四 相似三角形的判定与性质综合
题型五 利用相似三角形的性质求解
题型六 证明三角形的对应线段成比例
题型七 利用相似求坐标
题型八 在网格中画与已知三角形相似的三角形
题型九 相似三角形——动点问题
题型十 相似三角形的综合问题
【知识梳理】
知识点一、相似三角形的判定
预备定理
平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原
三角形相似．
判定 1
有两个角对应相等的两个三角形相似．
判定 2
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
判定 3 三边对应成比例的两个三角形相似
直角三角形
的特殊判定
若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比
例，那么这两个直角三角形相似．
知识点二、相似三角形的性质
性质 1 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
性质 2
相似三角形的周长比等于相似比。
∽ ，则
由比例性质可得：
A
B
C
A'
B'
C'
类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。
性质 3 相似三角形的面积比等于相似比的平方。
∽ ， 则 分 别 作 出 与 的 高
和 ，则
2
1 1
2 2 =
1 1
2 2
ABC
A B C
BC AD k B C k A D
Sk
SB C A D B C A D
 
 
 
 
   
 
△
△
A
B
C
A'
B'
C'
D'
要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。
如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到：
相似多边形面积的比等于相似比的平方。
性质 4
相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。
要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。
【经典例题一 证明两三角形相似】
1．（2023 秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图，锐角 的边 上的高线 交于
点 ，连接 ，则图中相似的三角形有（）

A．5对B．6对C．7对D．8对
【答案】D
【分析】平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；三
边对应成比例，两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；两角对应相等，两个三
角形相似．根据相似三角形的判定定理分析判断即可．
【详解】解：根据题意， ， ，
∴，
∴，
∴；
∵， ，
∴；
∵， ，
∴；
∵， ，
∴；
∵， ，
∴；
∵， ，
∴；
∵， ，
∴；
∵，
∴，
又∵ ，
∴；
∵，
∴，
又∵ ，
∴．
综上所述，图中相似的三角形有 ， ， ， ，
， ， ， ，共计 8对．
故选：D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题关键是理解相似三角形的判定定理，同时主要不要有所遗
漏．
2．（2023 秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，小正方形的边长均为
1，则下列图中的三角形（阴影部分）与 相似的是（）

A． B． C． D．

【答案】A
【分析】先利用勾股定理求出 及四个选项中的三角形的各边的长，然后比较它们的边是否对应成比
例，即可得出答案．
【详解】解：根据题意得， ， ， ，
A．三角形的三边分别为：1， ， ，∵ ，故 A符合题意；
B．三角形的三边分别为： ， ，3，∵ ，故 B不符合题意；
C．三角形的三边分别为：1， ， ， ，∵ ，故 C不符合题意；
D．三角形的三边分别为：2， ， ，∵ ，故 D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
3．（2023 秋·九年级课时练习）如图， 的高 ， 相交于点 ，写出一个与 相似的三角形，
这个三角形可以是．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据已知条件得 ， ，推出 ，其他同理.
【详解】解： ；
证明：∵ 的高 ， 相交于点 ，
∴，
∵，
∴；
故答案为： （答案不唯一）.
【点睛】本题考查相似三角形的判定，三角形的高的定义，解题的关键是掌握有两角对应的两个三角形相
似.
4．（2023 秋·全国·九年级专题练习）如图，矩形 的两条对角线 相交于点 O， ，垂
足为 E，F是 的中点，连接 交 于点 P，那么 ．
【答案】
【分析】根据矩形性质得到 ，利用三角形的三线合一得 ，过 O作 交 于
点Q，则有 ， ，计算即可．
【详解】解：∵ 是矩形，
∴，
∵F是 的中点，
∴，
又∵ ，
∴，
过O作 交 于点 Q，
∴， ，
∴，
故答案为： ．
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，作辅助线构造三角形相似
是解题的关键．
5．（2023 秋·浙江·九年级专题练习）如图，在 中， ， 是边 上的高．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知可得 ，又因为 ，根据相似三角形的判定即可得证；
（2）根据勾股定理得到 ，根据三角形的面积公式得到 ，然后根据勾股定理即可
得到结论．
【详解】（1）证明：∵ 是边 上的高，
∴，
∵，
∴
∵，
∴；
（2）解：∵ ， 是边 上的高， ， ，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长为 ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，勾股定理，三角形高的定义．掌握相似三角形的判定是解题的关键．
【经典例题二 选择或补充条件使两个三角形相似】
1．（2023 春·山东威海·八年级统考期末）如图，在 中，点 ，点 分别是 上的点．下列选
项中，不能判定 与 相似的是（）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴，
故A能判定 ；
∵， ，
∴，
故B能判定 ；
∵， ，
∴，
故C能判定 ；
∵， 不是夹角，
∴不能判定 与 相似，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在 中，点 D，E分别在边 ， 上，那么下列条件中，
不能判断 的是（）
A． B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据已知条件可知 ，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案．
【详解】解：A、 ， ，可根据两角相等证明 ，不符合题意；
B、 ， ，，可根据两角相等证明 ，不符合题意；
C、 ， ，不能证明 ，符合题意；
D、 ， ，可根据两边对应成比例，夹角相等证明 ，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题关键．
3．（2023 秋·安徽滁州·九年级校联考期末）如图，在 中，直角边 上有一动点 （不与点
重合）．过 点作直线截，使截得的三角形与 相似，则满足这样条件的直线共有条．

【答案】3
【分析】根据平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，可以作
， ；又由有两个角对应相等的三角形相似，可以过点 作 于点 ．即可获得
答案．
【详解】解：这样的直线有 3条：

①如图 1：作 ，∴；
②如图 2：作 ，∴；
摘要：

专题09相似三角形的判定与性质（10大题型）【题型目录】题型一证明两三角形相似题型二选择或补充条件使两个三角形相似题型三重心的有关性质题型四相似三角形的判定与性质综合题型五利用相似三角形的性质求解题型六证明三角形的对应线段成比例题型七利用相似求坐标题型八在网格中画与已知三角形相似的三角形题型九相似三角形——动点问题题型十相似三角形的综合问题【知识梳理】知识点一、相似三角形的判定预备定理平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定1有两个角对应相等的两个三角形相似．判定2两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．判定3三边对应成比例的两个三角形相似...

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