【沪教版数学9年级下】 专项练习-第27章 圆与正多边形(压轴题专练)（沪教版）解析版
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第 27 章 圆与正多边形压轴题专练
一、填空题
1．（2021·上海·九年级专题练习）门环，在中国绵延了数千多年的，集实用、装饰和门
第等级为一体的一种古建筑构件，也成为中国古建“门文化”中的一部分，现有一个门环的
示意图如图所示．图中以正六边形
ABCDEF
的对角线
AC
的中点
O
为圆心，
OB
为半径作⊙
O
，
A
Q
切⊙
O
于点
P
，并交
DE
于点
Q
，若
AQ
=12
cm
，则
（1）sin∠
CAB
=_____；
（2）该圆的半径为_____
cm
．
【答案】
【分析】（1）连接
OB
，易证
OB
⊥
AC
，∠
ACB
=∠
CAB
=30°，利用锐角三角函数的定义可求解；
（2）连接
OP
，根据圆的切线的性质可得
OP
⊥
AQ
，设该圆的半径为
r
，可求 sin∠
PAO
=
，过
Q
作
QG
⊥
AC
于
G
，过
D
作
DH
⊥
QG
于
H
，则四边形
DHGC
是矩形，可求 sin
∠
PAO
= ，计算求解
QG
的长，进而可得
QH
=12﹣2
r
，
DH
= ，通过解
直角三角形即可求解．
【详解】（1）连接
OB
，
OP
，
∵
AB
=
BC
，
O
为
AC
的中点，
∴
OB
⊥
AC
，
∵∠
ABC
=120°，
∴∠
ACB
=∠
CAB
=30°，
∴sin∠
CAB
=sin30°= ．
故答案为： ；
（2）∵
AQ
是⊙
O
的切线，
∴
OP
⊥
AQ
，
设该圆的半径为
r
，
∴
OB
=
OP
=
r
，
∵∠
ACB
=∠
CAB
=30°，
∴
AB
=
BC
=
CD
=2
r
，
AO
=
r
，
∴
AC
=
r
，
∴sin∠
PAO
= ，
过
Q
作
QG
⊥
AC
于
G
，过
D
作
DH
⊥
QG
于
H
，则四边形
DHGC
是矩形，
∴
HG
=
CD
，
DH
=
CG
，∠
HDC
=90°，
∴sin∠
PAO
= ，∠
QDH
=120°﹣90°=30°，
∴
QG
=12，
∴
AG
= ，
∴
QH
=12﹣2
r
，
DH=GC=AC-AG=
，
∴tan∠
QDH
=tan30°= ，
解得
r
= ，
∴该圆的半径为（ ）
cm
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，圆周角定理，切线的性质，正多边形和圆等
知识的综合运用．
二、解答题
2．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在
O
中，半径 长为 1，弦 ，射线
BO
，
射线
CA
交于点
D
，以点
D
为圆心，
CD
为半径的 交
BC
延长线于点
E
．
（1）若 ，求 与 公共弦的长；
（2）当 为等腰三角形时，求
BC
的长；
（3）设 ， ，求
y
关于
x
的函数关系式，并写出定义域．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）设
CM
是两圆的公共弦，
CM
交
BD
于
N
，交
OA
于
K
，
BD
交 于
G
，连接
OC
、
CG
交
OA
于
H
，由题意易得 ， ，进而可证 ， ，最后
根据勾股定理及相似三角形的性质可求解；
（2）当 是等腰三角形时，观察图形可知，只有 ，则有 ，
设 ，则有 ，进而求出 x，最后求解即可；
（3）作 于
N
，根据题意可证 ，进而有 ，则可得 ，
最后进行求解即可．
【详解】解：（1）如图 1 中，设
CM
是两圆的公共弦，
CM
交
BD
于
N
，交
OA
于
K
，
BD
交 于
G
，连接
OC
、
CG
交
OA
于
H
，
∵
BG
是直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ．
（2）如图 2 中，
当 是等腰三角形时，观察图形可知，只有 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
设 ，则有 ，
∴ ，∴ 或 （舍弃），∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ；
（3）如图 3 中，作 于
N
，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查圆的综合运用及相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的基本性质及
相似三角形的性质与判定是解题的关键．
3．（2021·上海·九年级专题练习）如图，⊙A、⊙B、⊙C 两两外切，AB＝10，BC＝21，si
nB＝ ．
（1）求 AC 的长；
（2）求⊙A、⊙B、⊙C 半径．
【答案】（1）17；（2）rA＝3，rB＝7，rC＝14
【分析】（1）如图作 AH⊥BC 于 H，分别在 ， 中，解直角三角形即可解决问题；
（2）如图设切点分别为 D、E、F，AE＝AD＝x，BE＝BF＝y，CF＝CD＝z，则有 ，解
方程组即可解决问题；
【详解】
解：（1）如上图作 AH⊥BC 于 H，
在 中，∵AB＝10， ＝ ，
∴AH＝8，BH＝6，
∵BC＝21，
∴CH＝15，
在 中，AC＝ ＝ ＝17．
∴AC＝17
（2）如图设切点分别为 D、E、F，AE＝AD＝x，BE＝BF＝y，CF＝CD＝z，
则有 ，解得
∴ ＝3， ＝7， ＝14．
【点睛】本题考查了两圆外切的基本性质之一：如果有两圆外切，则两圆的圆心距为两圆的
半径之和；直角三角形的勾股定理：在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的
平方．在一个三角形中作出一条边上的高后就可以得到一个直角三角形，进而通过勾股定理
进行求解．
4．（2021·上海·九年级专题练习）如图，已知在四边形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，∠
ABC
＝90°，
以
AB
为直径的⊙
O
交边
DC
于
E
、
F
两点，
AD
＝1，
BC
＝5，设⊙
O
的半径长为
r
．
（1）联结
OF
，当
OF
∥
BC
时，求⊙
O
的半径长；
（2）过点
O
作
OH
⊥
EF
，垂足为点
H
，设
OH
＝
y
，试用
r
的代数式表示
y
；
（3）设点
G
为
DC
的中点，联结
OG
、
OD
，△
ODG
是否能成为等腰三角形？如果能，试求出
r
的值；如不能，试说明理由．
【答案】(1)3；(2)
y
= ；(3)△
ODG
能成为等腰三角形，
r
=2
【分析】(1)证 OF 为梯形 ABCD 的中位线，得出 r=OF= (AD+BC)=3 即可；
(2)连接 OD、OC，过点 D 作 DM⊥BC 于 M，则 CM=BC﹣BM=4，由勾股定理得出 DC=2 ，由
四边形 ABCD 的面积=△DOC 的面积+△AOD 的面积+△BOC 的面积，进而得出答案；
(3)证 OG 是梯形 ABCD 的中位线，得出 OG∥AD，OG=3，DG= CD= ，由勾股定理得 OD=
，分三种情况，分别求解即可．
【详解】解：(1)∵OF∥BC，OA=OB，
∴OF 为梯形 ABCD 的中位线，
∴OF= (AD+BC)=(1+5)=3，
即⊙O 的半径长为 3；
(2)连接 OD、OC，过点 D 作 DM⊥BC 于 M，如图 1 所示：
∵AD∥BC，∠ABC=90°，且DM⊥BC，
∴四边形 ABMD 为矩形，
则 BM=AD=1，
∴CM=BC﹣BM=4，
∴DC= ，
∵四边形 ABCD 的面积=△DOC 的面积+△AOD 的面积+△BOC 的面积，
∴(1+5)×2r= ×2×y+r×1+r×5，
整理得：y= ；
(3)△ODG 能成为等腰三角形，理由如下：
∵点 G 为 DC 的中点，OA=OB，
∴OG 是梯形 ABCD 的中位线，
∴OG∥AD，OG= (AD+BC)=(1+5)=3，
DG= CD= ，
由勾股定理得：OD= ，
分三种情况：
①DG=DO 时，则 ，无解；
②OD=OG 时，如图 2 所示：
，
解得： ；
③GD=GO 时，作 OH⊥CD 于 H，如图 3 所示：
∠GOD=∠GDO，
∵OG∥AD，
∴∠ADO=∠GOD，
∴∠ADO=∠GDO，
∴DO 是∠ADG 的平分线，
由题意知：OA⊥AD，
又OH⊥CD，
∴OA=OH，
则此时圆 O 和 CD 相切，不合题意；
综上所述，△ODG 能成为等腰三角形，r= ．
【点睛】本题考查了垂径定理、梯形中位线定理、勾股定理、角平分线的性质、等腰三角形
的性质等知识；熟练掌握垂径定理和梯形中位线定理是解题的关键．
5．（2021·上海·二模）如图，已知扇形 的半径 ， ，点 、 分别
在半径 、 上（点 不与点 重合），联结 ．点 是弧上一点， ．
（1）当 ，以 为半径的圆 与圆 相切时，求 的长；
（2）当点 与点 重合，点 为弧的中点时，求 的度数；
（3）如果 ，且四边形 是梯形，求 的值．
【答案】（1） ；（2）67.5°；（3） 或
【分析】（1）由题意∠
COD
＝90°，cot∠
ODC
＝ ，可以假设
OD
＝3
k
，
OC
＝4
k
，则
CD
＝5
k
，证明
AC
＝
OC
＝4
k
＝2，推出
k
＝ ，继而可得结论．
（2）如图 2 中，连接
OP
，过点
P
作
PE
⊥
OA
于
E
，
PF
⊥
OB
于
F
．利用全等三角形的性质证明
△
PCB
是等腰直角三角形，可得结论．
（3）分两种情形：如图 3 1−中，当
OC
∥
PD
时，如图 3 2−中，当
PC
∥
OD
时，分别求解即可．
【详解】解：（1）如图 1 中，
∵∠
COD
＝90°，cot∠
ODC
＝ ，
∴设
OD
＝3
k
，
OC
＝4
k
，则
CD
＝5
k
，
∵以
CD
为半径的圆
D
与圆
O
相切，
∴
CD
＝
DB
＝5
k
，
∴
OB
＝
OD
＋
DB
＝3
k
＋5
k
＝4，
∴
k
＝ ，
∴
CD
＝ ；
（2）如图 2 中，连接
OP
，过点
P
作
PE
⊥
OA
于
E
，
PF
⊥
OB
于
F
．
∵ ，
∴∠
AOP
＝∠
POB
，
∵
PE
⊥
OA
，
PF
⊥
OB
，
∴
PE
＝
PF
，
摘要：
展开>>
收起<<
第27章圆与正多边形压轴题专练一、填空题1．（2021·上海·九年级专题练习）门环，在中国绵延了数千多年的，集实用、装饰和门第等级为一体的一种古建筑构件，也成为中国古建“门文化”中的一部分，现有一个门环的示意图如图所示．图中以正六边形ABCDEF的对角线AC的中点O为圆心，OB为半径作⊙O，AQ切⊙O于点P，并交DE于点Q，若AQ=12cm，则（1）sin∠CAB=_____；（2）该圆的半径为_____cm．【答案】【分析】（1）连接OB，易证OB⊥AC，∠ACB=∠CAB=30°，利用锐角三角函数的定义可求解；（2）连接OP，根据圆的切线的性质可得OP⊥AQ，设该圆的半径为r，可求sin∠...
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