专练11（数列压轴题）（30题）2021高考数学考点必杀500题（上海专用）（解析版）

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2021 高考考点必杀 500 题

专练 11（数列压轴题）（30 道）

1．（2021·上海黄浦区·高三一模）已知函数的定义域为，数列满足，

，(实数是非零常数).

（1）若，且数列是等差数列，求实数的值；

（2）若数列满足，求通项公式；

（3）若，数列是等比数列，且，，试证明： .

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【分析】

（1）设等差数列的公差，根据，得到，即可求解；

（2）由数列满足，推得数列是首项为，公比为的等比

数列，即可求解；

（3）由题意，得到，根据（2）知，利用累加法，求得

，结合数列是等比数列，即可求解.

【详解】

由数列满足，，

，

（1）因为数列是等差数列，，，

记公差为，则公差，所以，即，解得 .

（2）因为数列满足，

所以 .

所以数列是首项为，公比为的等比数列.

所以 .

（3）因为，且，

所以，

根据（2），可知当时，，

所以

，

所以 .

因为数列是等比数列，

所以，解得，

又因为，所以 .

【点睛】

数列与函数的综合问题的求解策略：

1、已知函数的条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质，图象等研究数列问题；

2、已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的定义，通项公式，前项和公式，求和

方法等对式子化简变形；

3、注意数列和函数的不同，数列只能看成是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊

性.

2．（2021·上海静安区·高三一模）个正数排成行列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，

每一列从上至下都是公比为同一个实数的等比数列.

已知，， .

（1）设，求数列的通项公式；

（2）设，求证： ( )；

（3）设，请用数学归纳法证明： .

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【分析】

（1）由题意，数列是等差数列，设首项为，公差为，联立方程组，求出和，写出通项公式；

（2）根据等比数列的通项公式和数列的函数性质即可求解；

（3）利用数学归纳法可以证明.

【详解】

解：（1）由题意，数列是等差数列，设首项为，公差为，

由，得

解得， .

故数列的通项公式为 .

（2）由（1）可得，再由已知，得

，解得，由题意舍去 .

由指数函数的性质，有 ( ).

（3）(i)当时，，等式成立.

(ii)假设当时等式成立，即，

当时，

，

等式成立.

根据(i)和(ii)可以断定，对任何的都成立.

【点睛】

(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；

(2)数列是特殊的函数，可以用函数的有关知识研究最值．

(3)数学归纳法用来解决与自然数 n有关的问题.

3．（2021·上海松江区·高三一模）对于由 m个正整数构成的有限集，记

，特别规定，若集合 M满足：对任意的正整数，都存在集

合M的两个子集 A､B，使得成立，则称集合 M为“满集”，

（1）分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由；

（2）若由小到大能排列成公差为 d( )的等差数列，求证：集合 M为“满集”的必要条

件是或 2；

（3）若由小到大能排列成首项为 1，公比为 2的等比数列，求证：集合 M是“满集”

【答案】（1）集合是“满集”，集合不是“满集”，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明

见解析.

【分析】

（1）分别求出和的子集，根据满集的定义说明即可；

（2），对任意的正整数，都存在集合 M的两个子集 A，B，使得

成立，当时，可得或，可得，又时，不

存在 M的子集 A，B，使得，可得；

（3）可以数学归纳法证明.

【详解】

（1）集合是“满集”，集合不是“满集”.

对于集合，，且共有 4个子集：，，，

当k分别取 1，2，3时，由；；；

故是“满集”；

对于集合，，且共有 4个子集：，，，

当时，不存在的两个子集 A，B，使得，

故不是“满集”；

（2）∵ ，，…，由小到大能排列成公差为 d( )的等差数列，

∴，记

∵M为“满集”，

∴对任意的正整数，都存在集合 M的两个子集 A，B，使得成立，

当时，由，及知或，

若，则，

∴，此时，

若，则，在 M的真子集中，最大，必有，此时

，.

综上可得：∴

若，当时，∵ ，

∴不存在 M的子集 A，B，使得，∴ ，

综合得：集合 M为“满集”的必要条件是，d=1 或2；

（3）可得，

下面用数学归纳法证明：

任意，任意

0<k ≤ P(M)

，存在的一个子集，使得，

当时显然成立，

设时结论也成立，

那么当时，任意的，

如果，根据归纳假设，存在的一个子集使得，此时也是

的一个子集，结论成立，

如果，那么，

又，

所以，

所以

0≤ k −an+1=a1+¿a2+¿ ¿¿

...

an+1

，

根据归纳假设，存在的子集使得，

再令，结论成立，

所以任意

0<k ≤ P(M)

，存在 M的一个子集 A，使得，

再令，则，

所以集合 M是“满集”.

【点睛】

本题考查集合的新定义问题和数列的应用，解题的关键是正确理解满集的定义.

4．（2021·上海高三专题练习）已知点､，直线 (其中 )，点

在直线上.

（1）若､､是常数列，求的最小值；

（2）若､､是成等差数列，且，求的最大值；

（3）若､､是成等比数列，且，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】

（1）若､､是常数列，直线，的最小值即为点到的距离；

（2）若､､是成等差数列，直线恒过点，，点在

以为直径的圆上，利用圆的性质即可求最值；

（3）若､､是成等比数列，则，即，设，则，

，设，利用，，可得，点在上可

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摘要：

2021高考考点必杀500题专练11（数列压轴题）（30道）1．（2021·上海黄浦区·高三一模）已知函数的定义域为，数列满足，，(实数是非零常数).（1）若，且数列是等差数列，求实数的值；（2）若数列满足，求通项公式；（3）若，数列是等比数列，且，，试证明：.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）设等差数列的公差，根据，得到，即可求解；（2）由数列满足，推得数列是首项为，公比为的等比数列，即可求解；（3）由题意，得到，根据（2）知，利用累加法，求得，结合数列是等比数列，即可求解.【详解】由数列满足，，，.（1）因为数列是等差数列，，，记公差为，则公差，所以，即，解得.（2）...

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