专练10（圆锥曲线压轴题）（30题）2021高考数学考点必杀500题（上海专用）（解析版）

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2021 高考考点必杀 500 题

专练 10（圆锥曲线压轴题）（30 道）

1．（2021·上海黄浦区·高三一模）定义：已知椭圆，把圆称为

该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆 (为坐标系原点)，试解决下列问题：

（1）写出协同圆圆的方程；

（2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值；

（3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求

证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，定圆的方程为 .

【分析】

（1）由协同圆的定义，结合椭圆方程的参数写出协同圆圆的方程；

（2）讨论直线的斜率存在和不存在两种情况：斜率不存在时，直接求出交点坐标，利用向量数量积的坐

标表示求；斜率存在时，设联立椭圆方程，由切线的性质确定判别式符号，应用根

与系数关系、向量数量积的坐标表示求；

（3）设，则，讨论有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜

率都存在，分别求，，，由等面积法求，即可证结论，并写出定圆方程.

【详解】

（1）由椭圆，知 .

根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆 .

（2）设，则 .

直线为圆的切线，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论：

①当直线的斜率不存在时，直线 .

若，由，解得，此时 .

若，同理得： .

②当直线的斜率存在时，设 .

由，得，有，

又直线是圆的切线，故，可得 .

∴，则，而 .

∴，即 .

综上，恒有 .

（3）是椭圆上的两个动点且，设，则 .

直线：有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论.

若直线的斜率不存在，即点在轴上，则点在轴上，有 .

∴，，且，

由，解得 .

若直线的斜率都存在，设，则 .

由，得，有；同理，得 .

于是， .

由，可得 .

因此，总有，即点在圆心为坐标原点，半径为的圆上.

∴该定圆的方程为圆 .

【点睛】

关键点点睛：研究直线与曲线相交关系注意讨论直线的斜率是否存在，求出交点坐标或联立椭圆、直线方

程，根据判断判别式的符号、根与系数关系，结合题设已知条件列方程求定值或定曲线.

2．（2021·上海金山区·高三一模）已知点在抛物线上，过点作圆 (

)的两条切线，与抛物线分别交于､两点，切线､与圆分别相切于点､.

（1）若点到圆心的距离与它到抛物线的准线的距离相等，求点的坐标；

（2）若点的坐标为，且时，求的值；

（3）若点的坐标为，设线段中点的纵坐标为，求的取值范围.

【答案】（1）或；（2）；（3）.

【分析】

（1）设出点的坐标，根据已知条件列方程组，解方程组求得点坐标.

（2）先求得和，然后结合向量数量积运算求得 .

（2）设出过的圆的切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程，化简写出根与系数关系，联立

切线和抛物线的方程，求得的纵坐标，由此求得线段中点的纵坐标的表达式，进而求得的取

值范围.

【详解】

（1）设点的坐标为，

则，解得或，

即点的坐标为或；

（2）当点的坐标为，且时，，

在直角三角形中，，且，

同理，，且，

从而；

（3）由题意知切线､的斜率均存在且不为零，设切线方程为，

由，得，

记切线､的斜率分别为､，则，

由于切线､的方程分别为､，

联立，消去，得，

设､，则，故，

同理，，于是，

因为，所以，

所以 .

即的取值范围是 .

【点睛】

直线和圆相切的问题，可以利用圆心到直线的距离等于半径列方程.

3．（2021·上海松江区·高三一模）已知椭圆 Γ：的右焦点坐标为，且长轴长

为短轴长的倍，直线 l交Γ椭圆于不同的两点和，

（1）求椭圆 Γ的方程；

（2）若直线 l经过点，且的面积为，求直线 l的方程；

（3）若直线 l的方程为，点关于 x轴的对称点为，直线，分别与 x轴

相交于 P､Q两点，求证：为定值.

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【分析】

（1）根据题意，结合的关系即可求得椭圆的方程；（2）设出直线 l的方程为，与椭圆方

程联立，然后根据韦达定理以及面积计算公式，表示出的面积并等于，求解的值，即可得

直线 l的方程；（3）由已知得的坐标，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，并求出直线的方程，

令，求出，即可得，并根据直线方程求出，然后相乘代入化简即可.

【详解】

解：（1）由题意得，，

解得，，所以椭圆 Γ的方程为 .

（2）设点，的坐标为､，由题意可知，直线 l的斜率存在

设直线 l的方程为 .

由方程组，得

所以，

解得 .∴直线 l的方程为

（3）由题意知点的坐标为

将，代入

得：，

∴，

对于直线，令得 ∴

对于直线：，令

得

，∴

【点睛】

解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、

三角形的面积等问题．

4．（2021·上海静安区·高三一模）如图所示，定点到定直线的距离 .动点到定点的距离等

于它到定直线距离的 2倍.设动点的轨迹是曲线 .

（1）请以线段所在的直线为轴，以线段上的某一点为坐标原点，建立适当的平面直角坐标

系，使得曲线经过坐标原点，并求曲线的方程；

（2）请指出（1）中的曲线的如下两个性质：①范围；②对称性.并选择其一给予证明.

（3）设（1）中的曲线除了经过坐标原点，还与轴交于另一点，经过点的直线交曲线于

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摘要：

2021高考考点必杀500题专练10（圆锥曲线压轴题）（30道）1．（2021·上海黄浦区·高三一模）定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题：（1）写出协同圆圆的方程；（2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值；（3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，定圆的方程为.【分析】（1）由协同圆的定义，结合椭圆方程的参数写出协同圆圆的方程；（2）讨论直线的斜率存在和不存在两种情况：斜率不存在时，直接求出交点坐标，利用向量数量积的坐标表示求；斜...

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