【沪教版数学8年级下】 知识总结-第11讲平面向量及其加减运算（核心考点讲与练）（沪教版）（解析版)

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3.0 张卫兵 2024-10-11 5 4 1.34MB 33 页 5积分
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第 11 讲平面向量及其加减运算（核心考点讲与练）
一、平面向量的概念
1．有向线段
规定了方向的线段叫做有向线段．
2．向量
既有大小又有方向的量叫做向量．
向量的大小也叫做向量的长度．（或向量的模）
3．向量的表示
（1）向量可以用有向线段直观表示
① 有向线段的长度表示向量的长度；
② 有向线段的方向表示向量的方向．
（2）常见的表示方法
① 向量 ，长度记为 ；
② 向量 、 、 ，长度记为 、 、 ．
4．相等的向量
方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量．
5．相反的向量
方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量．
6．平行向量
方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．
二、向量的加法
1．向量的加法
求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法．
2．零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作 ．规定 的方向可以是任意的（或者说不确定）；
．
因此，两个相反向量的和向量是零向量，即： ．
对于任意向量，都有 ， ．
3．向量的加法满足交换律： ．
4．向量的加法满足结合律： ．
5．向量加法的三角形法则
求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么
以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量．
6．向量加法的多边形法则
几个向量相加，可把这几个向量首尾顺次相接，那么以第一个向量的起点为起点、
最后一个向量的终点为终点的向量，就是这几个向量的和向量．
三、向量的减法
1．向量的减法
已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法．
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即： ．
2．向量减法的三角形法则
在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减
向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．
3．向量加法的平行四边形法则
如果 ， 是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点为公
共起点作两个向量与 ， 相等，以这两个向量为邻边作平行四边形，然后以所取的公共起
点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是 ， 的和向量，这个
法则叫做向量加法的平行四边形法则．
4．另外一个对角线向量，即是 ， 的差向量，这个差向量与被减向量共终点．
一、平面向量的概念
例 1．（2020·上海杨浦区·八年级期末）如图，点 、 在线段 上， ，那么
下列结论中，正确的是（ ）
A． 与 是相等向量 B． 与 是平行向量
C． 与 是相反向量 D． 与 是相等向量
【答案】B
【分析】由 AC=BD，可得 AD=BD，即可得 与 是平行向量， ，继
而证得结论．
【详解】A、∵AC=BD，
∴ ，该选项错误；
B、∵点 C、D 是线段 AB 上的两个点，
∴ 与 是平行向量，该选项正确；
C、∵AC=BC，
∴AD≠BD，
∴ 与 不是相反向量，该选项错误；
D、∵AC=BD，
∴AD=BC，
∴ ，该选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键．
例 2．（2019·全国九年级课时练习）给出下列 3 个命题，其中真命题的个数是（ ）．
① 单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．0 个
【答案】D
【分析】根据单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义逐一判断即可.
【详解】解：①单位向量的方向不一定相同，故①错误；
② 单位向量不一定平行，例如向上的单位向量和向右的单位向量，故②错误；
③ 平行的单位向量可能方向相反，所以平行的单位向量不一定相等，故③错误.
故选 D.
【点睛】此题考查的是平面向量的基本概念，掌握单位向量的定义、相等向量的定义和平行
向量的定义是解决此题的关键.
例 3．（2020·上海嘉定区·八年级期末）已知四边形 是矩形，点 是对角线 与
的交点.下列四种说法：①向量 与向量 是相等的向量；②向量 与向量 是
互为相反的向量；③向量 与向量 是相等的向量；④向量 与向量 是平行向量．
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用矩形的性质，相等向量，平行向量的定义一一判断即可．
【详解】解：如图：
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，
∴① 向量 与向量 是相等的向量，正确．
② 向量 与向量 是互为相反的向量，正确．
③ 向量 与向量 是相等的向量；错误．
④ 向量 与向量 是平行向量．正确．
故选：C．
【点睛】本题考查平面向量，矩形的性质等知识，长度相等且方向相同的两个向量叫做相等
向量，平行向量也叫共线向量，是方向相同或相反的非零向量．
例 4．（2020·上海徐汇区·）在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB﹦CD，那么下列结论中正确的是
（ ）．
A． 与 是相等向量； B． 与 是相等向量；
C． 与 是相反向量； D． 与 是平行向量．
【答案】D
【分析】根据相等向量、相反向量、平行向量的定义解答即可．
【详解】解：A、AB=CD，但 AB 不平行于 CD， ≠ ，故本选项错误；
B、AD//BC，AB=CD，AC=BD，但 AC 不平行于 BD， ≠ ，故本选项错误；
C、AD//BC， 与 不一定是相反向量，故本选项错误；
D、AD//BC， 与 是平行向量，故本选项正确．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了平面向量的相关知识，掌握相等向量、相反向量、平行向量的定义是解
答本题的关键．
例 5．（2019·上海闵行区·）在矩形 中，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可．
【详解】相等向量：长度相等且方向相同的两个向量 ．
A. ，故该选项错误；
B. ，但方向不同，故该选项错误；
C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以 ，故该选项正确；
D. ，故该选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键．
例 6．（2019·全国九年级课时练习）如图， 、 、 分别为等边三角形的边 、 、
摘要：

第11讲平面向量及其加减运算（核心考点讲与练）一、平面向量的概念1．有向线段规定了方向的线段叫做有向线段．2．向量既有大小又有方向的量叫做向量．向量的大小也叫做向量的长度．（或向量的模）3．向量的表示（1）向量可以用有向线段直观表示①有向线段的长度表示向量的长度；②有向线段的方向表示向量的方向．（2）常见的表示方法①向量，长度记为；②向量、、，长度记为、、．4．相等的向量方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量．5．相反的向量方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量．6．平行向量方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．二、向量的加法1．向量的加法求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法．2...

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