【沪教版数学9年级上】 习题试卷-24.4（2）相似三角形的判定与性质

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3.0 张卫兵 2024-09-30 5 4 1.22MB 51 页 5积分
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第二十四章 相似三角形
24.4（2）相似三角形的判定与性质
一、基础巩固
一．解答题
1．如图，已知△ABC∽△ADE，AB=30cm，BD=18cm，BC=20cm，∠BAC=75°，∠ABC=40°．
求：（1）∠ADE 和∠AED 的度数；
（2）DE 的长．
【分析 】（1）根据三角形的内角和得到∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=65°，根据相似三角形的对应角相等
即可得到结论；
（2）根据相似三角形的对应边的比相等即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠BAC=75°，∠ABC=40°，
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=65°，
∵△ABC∽△ADE，
∴∠ADE=∠ABC=40°，∠AED=∠ACB=65°；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴=，
∵AB=30cm，BD=18cm，BC=20cm，
∴=，
∴DE=8（cm）．
【点评】本题考查了相似三角形对应角相等，对应边成比例的性质，准确找出对应边与对应角是解题的关
键．
2．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AB 边上的垂直平分线与 AB、BC 交于点 D、E，AC 边上的垂
直平分线与 AC、BC 分别交于点 G、F，
（1）△AEF 是什么形状？你能证明吗？
（2）连结 DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明 DG= BC 吗？
（3）DG=5cm，试求△AEF 的周长．
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠B=∠C=30°，再利用垂直平分线的性质得
BE=AE ，AF=CF ， 则 ∠ EAB=∠B=30° ， ∠ FAC=∠C=30° ， 然 后 根 据 三 角 形 的 外 角 性 质 可 求 出
∠AEF=∠AFE=60°，于是可判断△AEF 为等边三角形；
（2）由 D是AB 中点、G是AC 中点知 DG 是△ABC 中位线，据此可得．
（3）利用 AE=BE，AF=CF 可得 AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10cm，从而可确定△AEF 的周长．
【解答】解：（1）△AEF 为等边三角形．
理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DE 垂直平分 AB，FG 垂直平分 AC，
∴BE=AE，AF=CF，
∴∠EAB=∠B=30°，∠FAC=∠C=30°，
∴∠AEF=2∠B=60°，∠AFE=2∠C=60°，
∴△AEF 为等边三角形；
（2）∵D是AB 中点、G是AC 中点，
∴DG 是△ABC 中位线，
∴DG= BC；
（3）∵DG=5，
∴BC=2DG=10，
∵AE=BE，AF=CF，
∴AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10cm，
∴△AEF 的周长为 10cm．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段中垂线的性质、中位线定理、等腰
三角形的性质与等边三角形的判定．
3．（1）如图 1，Rt△ABC 中，若 AC=4，BC=3，DE⊥AC，且 DE=DB，求 AD 的长；
（2）如图 2， 已 知 △ ABC ， 若 AB 边上存在一点 M， 若 AC 边上存在一点 N， 使 MB=MN ， 且
△AMN∽△ABC，请利用没有刻度的直尺和圆规，作出符合条件的线段 MN（注：不写作法，保留作图
痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）．
【分析】（1）根据 DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，进而得到 ，据此可得 AD 的长．
（2）作∠B的平分线 BN，交 AC 于G，作 BN 的垂直平分线 MG，交 AB 于M，则 MN=BM，而 MN∥BC，
则△AMN∽△ABC．
【解答】解：（1）在 Rt△ABC 中，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵DE⊥AC，∠C=90°，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
即 ，
解得 AD= ，
故AD 的长为 ．
（2）
如图 2所示，作∠B的平分线 BN，交 AC 于G，作 BN 的垂直平分线 MG，交 AB 于M，MN 即为所求．
【点评】本题主要考查了复杂作图以及相似三角形的判定与性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本
几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
4．如图，点 C、D在线段 AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP∽△PDB．
（1）求∠APB 的大小．
（2）说明线段 AC、CD、BD 之间的数量关系．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠PCD=60°，根据相似三角形的性质得到∠APC=∠PBD，根据三
角形内角和定理计算；
（2）根据相似三角形的性质、等边三角形的性质解答．
【解答】解：（1）∵△PCD 是等边三角形，
∴∠PCD=60°，
∴∠A+∠APC=60°，
∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC=∠PBD，
∴∠A+∠B=60°，
∴∠APB=120°；
（2）∵△ACP∽△PDB，
∴=，
∴CD2=AC•BD．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质、等边三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题
的关键．
5．如图，已知△ABC∽△ADE，AE=6cm，EC=3cm，BC=6 cm，∠BAC=∠C=47°．
（1）求∠AED 和∠ADE 的大小；
（2）求 DE 的长．
【分析】（1）根据相似三角形的对应角相等、三角形内角和定理计算；
（2）根据相似三角形的对应边的比相等列出比例式，代入计算即可．
【解答】解：（1）∵△ABC∽△ADE，
∴∠AED=∠C=47°，
∠ADE=180°﹣∠BAC﹣∠AED=86°；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴=，即 =，
解得，DE=4（cm）．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、对应角相等是解题的关
键．
6．如图，BC，AD 相交于点 C，△ABC∽△DEC，AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3．
（1）求 CE 的长；
（2）求证：BC⊥AD．
【分析】（1）根据相似三角形的性质解答即可；
（2）根据相似三角形的性质和平角的定义解答即可．
【解答】解：（1）∵△ABC∽△DEC，
∴
又∵AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3
∴EC=3.1；
（2）∵△ABC∽△DEC，
∴∠ACB=∠DCE，
∵∠ACB+∠DCE=180°，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴BC⊥AD．
【点评】此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的性质解答．
7．如图，已知△ABC∽△DEC，∠D=45°∠ACB=60°，AC=3cm，BC=4cm，CE=6cm．求：（1）∠B的度数；
（2）AD 的长．
【分析】（1）直接利用相似三角形对应角相等进而得出答案；
（2）直接利用相似三角形的对应边成比例进而得出答案．
【解答】解：（1）∵△ABC∽△DEC，
∴∠B=∠E，∠A=∠D=45°，
∵∠ACB=60°，
∴∠B=180° 60° 45°=75°﹣ ﹣ ；
（2）∵△ABC∽△DEC，
∴=，
∵AC=3cm，BC=4cm，CE=6cm，
∴=，
摘要：

第二十四章相似三角形24.4（2）相似三角形的判定与性质一、基础巩固一．解答题1．如图，已知△ABC∽△ADE，AB=30cm，BD=18cm，BC=20cm，∠BAC=75°，∠ABC=40°．求：（1）∠ADE和∠AED的度数；（2）DE的长．【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=65°，根据相似三角形的对应角相等即可得到结论；（2）根据相似三角形的对应边的比相等即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠BAC=75°，∠ABC=40°，∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=65°，∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE=∠ABC=40°，∠AED=∠ACB=...

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