【沪教版数学9年级上】 习题试卷-24.3（2） 三角形一边的平行线

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3.0 张卫兵 2024-09-30 5 4 913.41KB 41 页 5积分
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第二十四章 相似三角形
24.3（2）三角形一边的平行线
一、基础巩固
一．解答题
1．如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A=90°，AB=4，CD=2，CE⊥BC 交边 AD 于点 E．
（1）当点 E与A恰好重合时（如图 1），求 AD 的长；
（2）问：是否可能使△ABE、△CDE 和△BCE 都相似？若能，请求出此时 AD 的长；若不能，请说明理由
（如图 2）．
【分析】（1）由∠DCA=∠CAB，∠ADC=∠ACB，证得△ACD∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，
即可求得 AD 的长；
（2）分别从使△ABE、△CDE 与△BCE 都相似分析，利用相似三角形的性质，即可求得 AD 的长．
【解答】解：（1）当点 E与A重合时，∵CD∥AB
∴∠DCA=∠CAB，且∠ADC=∠ACB=90°
∴△ACD∽△ABC，
∴ ，
∴AC=2 ，
∴AD= ．
（2）若能使△ABE、△CDE 与△BCE 都相似，
∴∠EBC=∠A=∠D=90°，∠DEC=∠BEC=∠AEB
∵∠DEC+∠BEC+∠AEB=180
∴∠DEC=∠BEC=∠AEB=60°
在Rt△DEC 中，tan∠DEC=
∴DE= =
在Rt△ABE 中，tan∠AEB=
∴EA= =
∴AD=DE+AE=2
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．熟练运用相似三角形的性质解决问题是本题的关键．
2．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点 P从点 A沿AC 向C以2cm/s 的速度移动，到 C即
停，点 Q从点 C沿CB 向B以1cm/s 的速度移动，到 B就停．
（1）若 P、Q同时出发，经过几秒钟 S△PCQ=2cm2；
（2）若点 Q从C点出发 2s 后点 P从点 A出发，再经过几秒△PCQ 与△ACB 相似．
【分析】（1）根据题意用 t表示出 CQ，PC，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可；
（2）分△PCQ∽△ACB，△PCQ∽△BCA 两种情况列出比例式，计算即可．
【解答】解：（1）由题意得，AP=2t，CQ=t，
则PC=8 2t﹣，
由题意得， ×（8 2t﹣）×t=2，
整理得，t24t﹣+2=0
解得，t=2± ，
则P、Q同时出发，经过（2± ）秒钟 S△PCQ=2cm2；
（2）由题意得，AP=2t，CQ=2+t，
则PC=8 2t﹣，
当△PCQ∽△ACB 时， =，即 =，
解得，t=1.6，
当△PCQ∽△BCA 时， =，即 =，
解得，t= ，
综上所述，点 Q从C点出发 2s 后点 P从点 A出发，再经过 1.6 秒或 秒秒△PCQ 与△ACB 相似．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，一元二次方程的应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关
键．
3．已知如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是 F、E，试证明：
（1）△BAF∽△BCE．
（2）△BEF∽△BCA．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断；
（2）根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似即可证明；
【解答】解：（1）∵AF⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AFB=∠CEB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BAF∽△BCE．
（2）∵△BAF∽△BCE，
∴=，
∴=，
∵∠B=∠B，
∴△BEF∽△BCA．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考
常考题型．
4．如图，点 B、D、E在一条直线上，BE 与AC 相交于点 F，= = ．
（1）求证：∠BAD=∠CAE；
（2）若∠BAD=21°，求∠EBC 的度数：
（3）若连接 EC，求证：△ABD∽△ACE．
【分析】（1）根据相似三角形的性质定理得到∠BAC=∠DAE，结合图形，证明即可；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵ = = ．
∴△ABC～△ADE；
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAF=∠DAE﹣∠DAF，
即∠BAD=∠CAE；
（2）解：∵△ABC～△ADE，
∴∠ABC=∠ADE，
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ADE=∠ABE+∠BAD，
∴∠EBC=∠BAD=21°；
（3）证明：连接 CE，
∵△ABC～△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAF=∠DAE﹣∠DAF，
即∠BAD=∠CAE，
∵=．
∴△ABD∽△ACE．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
5．如图，在△ABC 和△ADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5，AB=4，当 BD 的长是多少时，图中的两个直角
三角形相似？
【分析】先利用勾股定理计算出 BC=3 ，再根据相似三角形的判定方法进行讨论：当 =
时，Rt△DBA∽Rt△BCA，即 =，当 =时，Rt△DBA∽Rt△BAC，即 =，然后利用比例性质
求出对应的 BD 的长即可．
【解答】解：在 Rt△ABC 中，BC= = =3，
∵∠ABC=∠ADB=90°，
∴当 =时，Rt△DBA∽Rt△BCA，即 =，解得 BD= ，
当=时，Rt△DBA∽Rt△BAC，即 =，解得 ，
综上所述，当 BD 的长是 或 时，图中的两个直角三角形相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
6．如图，△ABC 中，AB=8 厘米，AC=16 厘米，点 P从A出发，以每秒 2厘米的速度向 B运动，点 Q从C
同时出发，以每秒 3厘米的速度向 A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设
运动的时间为 t．
（1）用含 t的代数式表示：AP=　 2t 　 ，AQ=　 16 3t﹣ 　 ．
（1）当以 A，P，Q为顶点的三角形与△ABC 相似时，求运动时间是多少？
摘要：

第二十四章相似三角形24.3（2）三角形一边的平行线一、基础巩固一．解答题1．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=4，CD=2，CE⊥BC交边AD于点E．（1）当点E与A恰好重合时（如图1），求AD的长；（2）问：是否可能使△ABE、△CDE和△BCE都相似？若能，请求出此时AD的长；若不能，请说明理由（如图2）．【分析】（1）由∠DCA=∠CAB，∠ADC=∠ACB，证得△ACD∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得AD的长；（2）分别从使△ABE、△CDE与△BCE都相似分析，利用相似三角形的性质，即可求得AD的长．【解答】解：（1）当点E与A重合时，∵CD...

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