【沪教版数学9年级上】 习题试卷-07实际问题与二次函数重难点专练（解析版）（沪教版）

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3.0 张卫兵 2024-09-30 5 4 2.51MB 95 页 5积分
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专题 07 实际问题与二次函数重难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．某淘宝店购进苹果若干箱，物价部门规定其销售单价不高于 80 元/箱，经市场调查
发现：销售单价定为 80 元/箱时，每日销售 20 箱；如调整价格，每降价 1元/箱，每日
可多销售 2箱．
（1）已知某天售出苹果 70 箱，则当天的销售单价为________元/箱；
（2）该淘宝店现有员工 2名，每天支付员工的工资为每人每天 100 元，每天平均支付
运费及其它费用 250 元，当某天的销售价为 45 元/箱时，收支恰好平衡．
①求苹果的进价；
②若淘宝店每天的纯利润（收入—支出）全部用来偿还一笔 15000 元的借款，则至少
需多少天才能还清借款．
【来源】专题 2.1 一元一次方程-备战 2021 年中考数学精选考点专项突破题集（上海
专用）
【答案】（1）55；（2）①苹果的进价为 40 元/箱；②淘宝店至少需 19 天才能还清借
款.
【分析】
（1）根据销售单价定为 元/箱时，每日销售 20 箱；如调整价格，每降价 1元/箱，
每日可多销售 2箱，一共增加了 箱，降了 元，从而可得某天售出该
苹果 箱的销售单价为 元；
（2）①根据该淘宝店现有员工 2名，每天支付员工的工资为每人每天 元，每天平
均支付运费及其它费用 250 元，当某天的销售价为为 45 元/箱时，收支恰好平衡，可以
列出相应的方程，从而可以求得苹果的进价； ②根据题意可以求得每天的最大利润，
从而可以求得少需多少天才能还清借款．
【详解】
解：（1）某天售出苹果 70 箱，则当天的销售单价为 元，
故答案为：55；
（2）①设苹果的进价为 元/箱，
当销售价为 45 元/箱时，当天的销量为： （箱），
则 ，
解得， ，
即苹果的进价为 40 元/箱；
②设淘宝店某天的销售单价为 元/箱，每天的收入为 元，
则 ，
∴当 时，淘宝店每天的收入最多，最多收入 1250 元，
设淘宝店需要 天还清借款，
，
解得， ，
∵为整数，
∴.
即淘宝店至少需 19 天才能还清借款．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解答本题
的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
2．如图，已知对称轴为直线 的抛物线 与 轴交于 、 两点，
与 轴交于 C点，其中 .
（1）求点 B的坐标及此抛物线的表达式；
（2）点 D为y轴上一点，若直线 BD 和直线 BC 的夹角为 15º，求线段 CD 的长度；
（3）设点 为抛物线的对称轴 上的一个动点，当 为直角三角形时，求
点 的坐标.
【来源】【区级联考】上海市宝山区 2019 届九年级下学期二模试卷数学试题
【答案】（1） ， ；（2）CD= 或 ；（3）
的坐标为 或 或 或 .
【解析】
【分析】
（1）将 A、C坐标代入抛物线，结合抛物线的对称轴，解得 a、b、c的值，求得抛物
线解析式;
（2）求出直线 BC 的解析式为 ，得出∠CBA=45°再求出∠DBA=30°或
∠DBA=60°,再求出 DO 即可;
（3）设点 P的坐标，分别以 B、C、P为直角顶点，进行分类讨论，再运用勾股定理
得到方程式进行求解.
【详解】
解：（1）根据对称轴 x=-1,A（1,0），得出 B为(-3,0)
依题意得： ，解之得： ，
∴抛物线的解析式为 .
（2）∵对称轴为 ，且抛物线经过 ，∴
∴直线 BC 的解析式为 . CBA=45°∠
∵直线 BD 和直线 BC 的夹角为 15º， ∴∠DBA=30°或∠DBA=60°
在△BOD， ，BO=3
DO=∴或 ，∴CD= 或.
（3）设 ，又 ， ，
∴， ，，
①若点 为直角顶点，则 即：
解之得： ，
②若点 为直角顶点，则 即： 解之得：
，
③若点 为直角顶点，则 即：解之得：
，.
综上所述 的坐标为 或 或 或 .
【点睛】
本题主要考查一次函数的图象与性质和二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的
图象与性质和二次函数的图象与性质是解题的关键.
3．已知正方形 ABCD 的边长为 6，E、F、P分别是 AB、CD、AD 上的点（均不与正
方形顶点重合）且 PE=PF,PE PF.⊥
（1）求证：AE+DF=6
（2）设 AE= ，五边形 EBCFP 的面积为 ，求 与 的函数关系式，并求出 的取
值范围.
【来源】2017-2018学年上海市宝山区行知实验中学八年级第二学期期中试卷
【答案】（1）证明见解析；
（2）y＝x2−6x＋36，y的取值范围是27≤y＜36．
【分析】
（1）根据∠A＝∠D＝∠EPF＝90°和PE＝PF 的条件，易证△AEP 与△DPF 全等，根
据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）可以用 x表示PD 进而表示AP，五边形面积 y等于正方形面积减去两个全等三角
形的面积，写得y的函数解析式．把函数解析式写出顶点式，结合 x的取值范围求出 y
的取值范围．,
【详解】
（1）∵四边形 ABCD 是正方形，
AB∴＝BC＝CD＝DA＝6，∠A＝∠D＝90°，
AEP∴∠ ＋∠APE＝90°，
PE PF∵ ⊥ ，
EPF∴∠ ＝90°，
APE∴∠ ＋∠DPF＝90°，
AEP∴∠ ＝∠DPF，
在△AEP 与△DPF 中，
，
AEP DPF∴△≌△（AAS），
AE=DP AP=DF∴，
DP+AP=AD=6∴；
（2）∵△AEP DPF≌△，
S∴AEP△＝SDPF△，DP＝AE＝x，
AP∴＝AD−DP＝6−x，
y∴＝S正方形 ABCD−S AEP△＝SDPF△＝S正方形 ABCD−2S AEP△＝AB2−2• AE•AP＝36−x（6−x）＝
x2−6x＋36＝（x−3）2＋27，
0∵＜x＜6，
x∴＝3时，y最小值为 27；x＝0或6时，y＝（0−3）2＋27＝36，
27≤y∴＜36，
y∴＝x2−6x＋36，y的取值范围是27≤y＜36．
【点睛】
本题考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象与性质．求二次
函数值的范围时，要把解析式写成顶点式，再根据 x的范围来确定 y的范围．
4．水果市场的甲、乙两家商店中都有批发某种水果，批发该种水果x千克时，在甲、
乙两家商店所花的钱分别为 y1元和 y2元，已知 y1、y2关于 x的函数图象分别为如图所
示的折线OAB 和射线OC．
（1）当 x的取值为　 　时，在甲乙两家店所花钱一样多？
（2）当 x的取值为　 　时，在乙店批发比较便宜？
（3）如果批发30 千克该水果时，在甲店批发比在乙店批发便宜 50 元，求射线AB 的
表达式，并写出定义域．
【来源】上海市市西初级中学 2018-2019 学年八年级下学期期中数学试题
【答案】(1)20;(2) 0＜x＜20;(3) y＝5x+100（x≥10）
【分析】
（1）利用两个函数图像的交点坐标即可解决问题；（2）根据 y2的图像在y1的下方，
观察图像即可解决问题；（3）设 AB 的解析式为 y=kx+b，由题意 OC 的函数解析式为
y=10x，可得方程组，解方程组即可
【详解】
（1）由图象可知，x＝20 千克时，y1＝y2，故答案为 20 千克．
（2）由图象可知，0＜x＜20 时，在乙店批发比较便宜．故答案为 0＜x＜20．
（3）设 AB 的解析式为 y＝kx+b，由题意 OC 的函数解析式为 y＝10x，
∴，
解得 ，
∴射线AB 的表达式 y＝5x+100（x≥10）．
【点睛】
本题的关键是根据图像解答问题
5．如果两个二次函数的图象关于 y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于 y轴
对称二次函数”，如图所示二次函数 y1 = x2 + 2x + 2 与y2 = x2 - 2x + 2 是“关于 y轴对称
二次函数”．
（1）二次函数 y = 2（x + 2）2 + 1 的“关于 y轴对称二次函数”解析式为 ；二
次函数 y = a（x - h）2 + k的“关于 y轴对称二次函数”解析式为 ；
（2）如备用图，平面直角坐标系中，记“关于 y轴对称二次函数”的图象与 y轴的交
点为 A，它们的两个顶点分别为 B，C，且 BC=6，顺次连接点A，B，O，C得到一个
面积为24 的菱形，求“关于 y轴对称二次函数”的函数表达式．
（3）在第（2）题的情况下，如果 M是两个抛物线上的一点，以点 A，O，C，M为顶
点能否构成梯形. 若能，求出此时 M坐标；若不能，说明理由.
【来源】上海卷 04-2021 年《三步冲刺中考 数学》（上海专用）之第�3 步中考热身
卷
【答案】（1）y = 2（x - 2）2 + 1 ， y = a（x + h）2 + k ；（2）y=（x-3）2+4；
（3）M1（3,20），M2（-6,8），M3（9,20）
【分析】
（1）根据“关于 y轴对称二次函数”的定义即可求解；
（2）根据“关于 y轴对称二次函数”，菱形的面积，可得顶点坐标，图象与 y轴的交
点，根据待定系数法，可得答案；
（3）根据题意分①若 AO∥CM， ②若 AC∥OM，③若 OC∥AM，分别联立函数求解即
可.
【详解】
（1）二次函数 y = 2（x + 2）2 + 1 的“关于 y轴对称二次函数”解析式为 y = 2（x -
2）2 + 1；二次函数 y = a（x - h）2 + k的“关于 y轴对称二次函数”解析式为 y = a（x +
h）2 + k，
故填：y = 2（x - 2）2 + 1，y = a（x + h）2 + k ；
（2）由BC=6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24 的菱形，由菱形面积公式
得OA=8，
∴A点坐标为（0，8），
∵菱形ABOC
- ∴xB = xC yB = yA
∴B点的坐标为（-3，4），
设一个抛物线的解析式为 y=a（x+3）2+4，将 A点坐标代入，得 9a+4=8，
解得 a=，
∴y=（x+3）2+4 关于 y轴对称二次函数的函数表达式 y=（x-3）2+4．
（3）①若 AO∥CM，则 xM = xC = 3，
把xM = 3 代入上述两个抛物线解析式，解得 y1 = 20， y2 = 4
C∵（3,4），∴y2 = 4 舍去，
∴M1（3,20）
②若AC∥OM，
∵lAC： ，∴lOM：
与抛物线联立方程 或
或无解
B∵（-3,4），∴ 舍去，
∴M2（-6,8）
③若OC∥AM
∵lOC： ，∴lAM：
同②解得
A∵（0，8）
∴M3（9,20）
综上所述，M1（3,20），M2（-6,8），M3（9,20）
【点睛】
此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知新定义的函数性质及菱形、梯
形的性质.
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和点
，顶点为 .
（1）求这条抛物线的表达式和顶点 的坐标；
（2）点 关于抛物线对称轴的对应点为点 ，联结 ，求 的正切值；
（3）将抛物线 向上平移个单位，使顶点 落在点 处，点
落在点 处，如果 ，求 的值.
【来源】2020 年上海市奉贤区九年级上学期期末（一模）数学试题
【答案】（1） ， ；（2）3；（3）
【分析】
(1)根据待定系数法，即可求解；
(2)根据题意，画出图形，由OD= ，OB=5，可得：∠OBD= ODB∠，
即可求解；
(3)根据题意：可得：BE= ，BF=t，列出关于 t的方程，即可求解.
【详解】
（1）∵抛物线 经过点 和点 ，
∴，解得： ，
∴抛物线的表达式是： ，
即： ，
摘要：

专题07实际问题与二次函数重难点专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．某淘宝店购进苹果若干箱，物价部门规定其销售单价不高于80元/箱，经市场调查发现：销售单价定为80元/箱时，每日销售20箱；如调整价格，每降价1元/箱，每日可多销售2箱．（1）已知某天售出苹果70箱，则当天的销售单价为________元/箱；（2）该淘宝店现有员工2名，每天支付员工的工资为每人每天100元，每天平均支付运费及其它费用250元，当某天的销售价为45元/箱时，收支恰好平衡．①求苹果的进价；②若淘宝店每天的纯利润（收...

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作者：张卫兵 分类：初中教育 价格：5积分 属性：95 页 大小：2.51MB 格式：DOCX 时间：2024-09-30

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