【沪教版数学9年级上】 习题试卷-25.4 解直角三角形的应用

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3.0 张卫兵 2024-09-30 5 4 1.28MB 44 页 5积分
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第二十五章 锐角三角形
25.4 解直角三角形的应用
一、基础巩固
一．解答题
1．已知：如图，在△ABC 中，AD 是边 BC 上的高，E为边 AC 的中点，BC=21，AD=8，sinB= ．
求：（1）线段 DC 的长；
（2）tan∠EDC 的值．
【分析】（1）在 Rt△ABD 中，根据已知条件求出边 AB 的长，再由 BC 的长，可以求出 CD 的长；
（2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出∠C=∠EDC，从而求出∠C的正切值即求出
了tan∠EDC 的值．
【解答】解：（1）∵AD 是BC 边上的高，△ABD 和△ACD 是直角三角形，
在Rt△ABD 中，∵sinB= ，AD=8，
∴=，
∴AB=10，
∴BD= =6，
又∵BC=21，
∴CD=BC BD=15﹣；
（2）在 Rt△ACD 中，
∵E为斜边 AC 的中点，
∴ED=EC= AC，
∴∠C=∠EDC，
∴tan∠EDC=tanC= = ．
【点评】此题要灵活应用三角函数公式和解直角三角形，同时还要掌握“直角三角形中，斜边上的中线等
于斜边的一半“等知识点．
2．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，△ABC 的周长为 24，sinB= ，点 D为BC 的中点．
（1）求 BC 的长；
（2）求∠BAD 的正弦值．
【分析】（1）根据三角函数的定义设 AB=5k，AC=3k，则 BC=4k，再由三角形的周长得出 k的值，即可得
出三角形的三边；
（2）过点 D作DE⊥AB，垂足为 E，根据 S△ABD= S△ABC，再由正弦函数的定义得出答案即可．
【解答】解：（1）∵sinB= ，[来源:学科网]
∴=，
设AB=5k，AC=3k，则 BC=4k，
∵△ABC 的周长为 24，
∴3k+4k+5k=24，
∴12k=24，
∴k=2，
∴AB=10，AC=6，BC=8；
（2）过点 D作DE⊥A B，垂足为 E，
∵AD 为中线，
∴S△ABD= S△ABC=24，
∴ ×10DE=12，
∴DE= ，
在Rt△ACD 中，AD2=CD2+AC2，
∴AD=2 ，
∴sin∠BAD= = = ．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理以及三角函数的定义是解题的关键．
3．阅读材料，回答问题：
小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图 1， 在 Rt△ABC 中，如果
∠C=90°，∠=30°，BC═a=1，AC=b= ，AB=c=2，那么 = =2．通过上网查阅资料，他又
知“sin90°=1”，因此他得到“在含 30°角的直角三角形中，存在着 ==的关系．
这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：
（1）如图 2，在 R△ABC 中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=C，请判断此时“ ==”的关系是
否成立？答：　成立　
（2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下
的探究：
如图 3，在锐角△ABC 中，BC=a，AC=b，AB=c，请判断此时“ ==”的关系是否成立？并证
明你的判断．（提示：过点 C作CD⊥AB 于D，过点 A作AH⊥BC，再结合定义或其它方法证明）．
【分析】（1）因为 =c，=c，=c，推出“ ==”成立，
（2）作 CD⊥AB 于D．在 Rt△ADC 和Rt△BDC 中，∠ADC=∠BDC=90°，可得 sinA= ，sinB= ，推出
=，=，可得 =，同理，作 AH⊥BC 于H，可证 =，即可解决问
题；
【解答】解：（1）∵ =c，=c，=c，
∴“ = = ”成立，
故答案为成立．
（2）作 CD⊥AB 于D．[来源:学§科§网]
∵在 Rt△ADC 和Rt△BDC 中，∠ADC=∠BDC=90°，
∴sinA= ，sinB= ，
∴=，=，
∴=，
同理，作 AH⊥BC 于H，可证 =，
∴==．
【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函 数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三
角形解决问题，属于中考创新题目．
4．如图，△ABC 中，D为BC 边上的一点，若∠B=36°，AB=AC=BD=2．
（1）求 CD 的长；
（2）利用此图求 sin18°的值．
【分析】（1）求出△CAD∽△CBA，得出比例式，代入求出即可；
（2）求出△EAD 是直角三角形，求出 AD 的长度，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵AB=AC，∠B=36°，
∴∠C=∠B=36°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=108°，
∵AB=BD，∠B=36°，
∴∠BAD=∠BDA= （180°﹣∠B）=72°，
∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=108° 72°=36°﹣，
即∠DAC=∠B，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴=，
∵AB=AC=BD=2，
∴=，
解得：CD= 1﹣（负数舍去）；
（2）
延长 CB 到E，使 BE=AB=2，连接 AE，
则∠E=∠BAE，
摘要：

第二十五章锐角三角形25.4解直角三角形的应用一、基础巩固一．解答题1．已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=21，AD=8，sinB=．求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值．【分析】（1）在Rt△ABD中，根据已知条件求出边AB的长，再由BC的长，可以求出CD的长；（2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出∠C=∠EDC，从而求出∠C的正切值即求出了tan∠EDC的值．【解答】解：（1）∵AD是BC边上的高，△ABD和△ACD是直角三角形，在Rt△ABD中，∵sinB=，AD=8，∴=，∴AB=10，∴BD==6，又∵BC=21，∴C...

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