【沪教版数学9年级上】 习题试卷-25.7解直角三角形的应用实际问题大题专练上海30题（重难点培优）（解析版）【沪教版】

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3.0 张卫兵 2024-09-30 5 4 443.04KB 35 页 5积分
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2021-2022 学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】
专题 25.7 解直角三角形的应用实际问题大题专练上海 30 题（重难点培
优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分 100 分，试题共 30 题，解答 30 道．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓
名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共 30 小题）
1．（2020 秋•青浦区期末）某条过路上通行车辆限速为 40 千米每小时，在离道路 50 米的点 P处建一个监
测点，道路的 AB 段为监测区（如图）在△ABP 中，已知∠PAC＝26.5°，∠PBC＝68.2°．一辆车通过 AB
段的时间为 9秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：
sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.50）
【分析】过点 P作PD⊥AB 于点 D，解直角三角形可得到 AB 的长，再利用路程除以时间可得时速度，
再进行比较，可得答案．
【解析】不超速，
理由：过点 P作PD⊥AB 于点 D．
在Rt△APD 中，tan∠PAD
¿PD
AD
，
∴AD
¿PD
tan ∠PAC =50
tan 26.5 °
（米），同理，BD
¿50
tan 68.2°
（米），
∴AB＝AD﹣BD
¿50
tan 26.5 °−50
tan 68.2 °=50
0.5 −50
2.5 =¿
80（米），
∴v＝80÷9
¿80
9
（m/s）
＜100
9
（m/s）＝40（km/h），
故不超速．
2．（2020 秋•长宁区期末）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截
面示意图．
身高 1.6 米的小聪做了如下实验：当他在地面 M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头 B处测
得A的仰角为 30°；当他在地面 N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头 C处测得 A的仰角
为53°．如果测得小聪的有效测温区间 MN 的长度是 0.98 米，求测温门顶部 A处距地面的高度约为多少
米？（注：额头到地面的距离以身高计，sin53°≈0.8，cos53°＝0.6，cot53°≈0.75，
1.73．）
【分析】延长 BC 交AD 于点 E，构造直角△ABE 和矩形 EDNB，设 AE＝x米．通过解直角三角形分别表
示出 BE、CE 的长度，根据 BC＝BE﹣CE 得到 1.73x0.75﹣x＝0.98，解得即可求得 AE 进而即可求得．
【解析】延长 BC 交AD 于点 E，设 AE＝x米．
∵
tan 53 °=AE
CE ，tan 30 °=AE
BE
，
∴CE
¿x
tan 53 °≈
0.75x，BE
¿x
tan 30 °≈
1.73x，
∴BC＝BE﹣CE＝1.73x0.75﹣x＝0.98．
解得 x＝1，
∴AE＝1，
∴AD＝AE+ED＝1+1.6＝2.6（米）．
答：测温门顶部 A处距地面的高度约为 2.6 米．
3．（2020 秋•闵行区期末）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间
测速．如图，电子眼位于点 P处，离地面的铅锤高度 PQ 为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点 A处，
此 时 电 子 眼 的 俯 角 为 30° ； 区 间 测 速 的 终 点 为 下 引 桥 坡 脚 点 B处 ， 此 时 电 子 眼 的 俯 角 为
60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．
（1）求路段 BQ 的长（结果保留根号）；
（2）当下引桥坡度 i＝1：2
√
3
时，求电子眼区间测速路段 AB 的长（结果保留根号）．
【分析】（1）根据 BQ＝PQ•tan∠BPQ，求解即可．
（2）如图，过点 A作AM⊥QB 于M，AH⊥PQ 于H．由题意，∠PAH＝∠TPA＝30°，设 AM＝a米，则
BM＝2
√
3
a米，在 Rt△APH 中，根据 tan∠PAH
¿PH
AH
，构建方程求出 a，再利用勾股定理求出 AB 即可．
【解析】（1）由题意，∠PBQ＝∠TPB＝60°，
∵∠PQB＝90°，
∴∠BPQ＝30°，
∴BQ＝PQ•tan30°＝9
×
√
3
3=¿
3
√
3
（米）．
（2）如图，过点 A作AM⊥QB 于M，AH⊥PQ 于H．
由题意，∠PAH＝∠TPA＝30°，
设AM＝a米，则 BM＝2
√
3
a米，
∵∠AHQ＝∠HQM＝∠AMQ＝90°，
∴四边形 AHQM 是矩形，
∴AH＝QM＝（3
√
3+¿
2
√
3
a）米，QH＝AM＝a米，PH＝PQ﹣HQ＝（9﹣a）米，
在Rt△APH 中，tan∠PAH
¿PH
AH
，
∴
√
3
3=9− a
3
√
3+2
√
3a
，
解得 a＝2，
∴AM＝2（米），BM＝4
√
3
（米），
∴AB
¿
√
A M2+B M 2=
√
22+¿¿
2
√
13
（米）．
4．（2021•杨浦区二模）如图 1是一种手机平板支架，由底座、支撑板和托板构成，手机放置在托板上，
如图 2是其侧面示意图，量得底座长 AB＝11cm，支撑板长 BC＝8cm，托板长 CD＝6cm，托板 CD 固定
在支撑板顶端点 C处，托板 CD 可绕点 C旋转，支撑板 BC 可绕点 B转动．
（1）如果∠ABC＝60°，∠BCD＝70°，求点 D到直线 AB 的距离（精确到 0.1cm）；
（2）在第（1）小题的条件下，如果把线段 CD 绕点 C顺时针旋转 20°后，再将线段 BC 绕点 B逆时针
旋转，使点 D落在直线 AB 上，求线段 BC 旋转的角度．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，
√
3≈
1.73）
【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出 CN、CF，即可求出
点D到直线 AB 的距离；
（2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出相
应的角度即可．
【解析】（1）如图 2，过 D作DM⊥AB，交 AB 于点 M，过点 C作CN⊥AB 于点 N，垂足为 N，过点 D
作DQ⊥CN 交CB 于点 Q，垂足为 F，
摘要：

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题25.7解直角三角形的应用实际问题大题专练上海30题（重难点培优）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共30题，解答30道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2020秋•青浦区期末）某条过路上通行车辆限速为40千米每小时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路的AB段为监测区（如图）在△ABP中，已知∠PAC＝26.5°，∠PBC＝6...

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