【沪教版数学9年级上】 习题试卷-26.2（3）二次函数的图像

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3.0 张卫兵 2024-09-30 5 4 1.03MB 45 页 5积分
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第二十六章 二次函数
26.2（3）二次函数的图像
一、基础巩固
一．解答题
1．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+4ax+4a 4﹣（a≠0）的顶点为 A．
（1）求顶点 A的坐标；
（2）过点（0，5）且平行于 x轴的直线 l，与抛物线 y=ax2+4ax+4 4﹣（a≠0）交于 B、C两点．
①当a=1 时，求线段 BC 的长；
② 当线段 BC 的长不小于 8时，直接写出 a的取值范围．
【分析】（1）配方得到 y=ax2+4ax+4a 4=a﹣（x+2）24﹣，于是得到结论；
（2）①当 a=1 时，抛物线为 y=x2+4x，如图．令 y=5 解方程即可得到结论；②令 y=5 得到 ax2+4ax +4a﹣
4=5，解方程后根据线段的范围列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）∵y=ax2+4ax+4a 4=a﹣（x+2）24﹣，
∴顶点 A（﹣2，﹣4）．
（2）① a=1 时，抛物线 y=x2+4x，
令y=5，x2+4x=5，解得 x= 5﹣或1，
∴BC 的长为 6．
②∵抛物线 y=ax2+4ax+4a 4﹣（a≠0）的顶点为（﹣2，﹣4）且抛物线过点（0，5），
∴抛物线开口向上，即 a＞0；[来源:学科网 ZXXK]
令y=5，得 ax2+4ax+4a 4=5﹣，
解得，x1=，x2=，
∴线段 BC 的长为 ，
∵线段 BC 的长不小于 8，
∴ ≥8，
∴0＜a≤ ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的顶点坐标，正确地作出图象是解题的关键．
2．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x+1与y轴交于点 A，并且经过点 B（3，n）．
（1）求点 B的坐标；
（2）如果抛物线 y=ax24ax﹣+4a 1﹣（a＞0）与线段 AB 有唯一公共点，求 a的取值范围．
【分析】（1）把 x=3 代入 y=x+1，即可得到结论；
（2）由题意：线段 ABy=x+1（0≤x≤3），由于抛物线 y=ax24ax﹣+4a 1﹣（a＞0）与线段 AB 有唯一公共点
时得到不等式组 ①或 ②于是得到结论．
【解答】解：（1）把 x=3 代入 y=x+1，y=3+1=4，∴点 B的坐标为 B（3，4）；
（2）由题意：线段 ABy=x+1（0≤x≤3），
∵y=ax24ax﹣+4a 1=a﹣（x 2﹣）21﹣，
∴抛物线的对称轴为直线 x=2，顶点坐标为（2，﹣1），
∵点 A（0，1），点 B（3，4），
∵当抛物线 y=ax24ax﹣+4a 1﹣（a＞0）与线段 AB 有唯一公共点时，
∴ ① 或 ②
解①得 ≤a＜5，②无解，
综上所述，当 ≤a＜5时，抛物线与线段 AB 有一个公共点．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关
键．
3．二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）a　 ＞ 　 0；
（2）b　 ＜ 　 0；
（3）b24ac﹣　 ＞ 　 0；
（4）y＜0时，x的取值范围是　﹣ 2 ＜ x ＜ 4 　 ．
【分析】由抛物线的开口方向判断 a与0的关系，由抛物线与 y轴的交点判断 c与0的关系，然后根据对
称轴及抛物线与 x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：（1）抛物线的开口方向向上，则 a＞0．
故答案是：＞；
（2）抛物线的对称轴在 y轴 的右侧，则 a、b异号，所以 b＜0．
故答案是：＜；
（3）抛物线与 x轴有 2个不同的交点，则 b24ac﹣＞0．
故答案是：＞；
（4）由图象知，当 y＜0时，﹣2＜x＜4．
故答案是：﹣2＜x＜4．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 2a 与b的关系，以及二次函
数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
4．抛物线 y=x2+bx+c与直线 y=x 交于 A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且满足 x1＞0，x2x﹣1＞1．
（1）试证明：c＞0；
（2）试比较 b2与2b+4c 的大小；
（3）若 c= ，AB=2，试确定抛物线的解析式．
【分析】（1）先将 y=x2+bx+c代入 y=x，整理得出 x2+（b 1﹣）x+c=0，由根与系数的关系得出 x1+x2=1﹣
b，x1•x2=c，由 x1＞0，x2x﹣1＞1，利用不等式的性质即可证明 c=x1•x2＞0；
（2）先求出 b2﹣（2b+4c）=b22b 4c=﹣ ﹣ （1 b﹣）24c 1﹣ ﹣ ，再将 x1+x2=1 b﹣，x1•x2=c 代入，得出 b2﹣
（2b+4c）=（x1+x2）24x﹣1•x21=﹣（x2x﹣1）21﹣，由 x2x﹣1＞1，得出（x2x﹣1）2＞1，进而得出 b2＞
2b+4c；
（3）将 c= 代入得 y=x2+bx+ ，由 AB=2，A（x1，y1）、B（x2，y2），根据两点间的距离公式得出（x2﹣
x1）2+（y2y﹣1）2=4，将 y1=x1，y2=x2代入，得到（x2x﹣1）2=2，即（x1+x2）24x﹣1•x2=2，再把 x1+x2=1﹣
b，x1•x2=c= 代入，得出（1 b﹣）24﹣×=2，解方程求出 b= 1﹣或3，根据 x1＞0，x2x﹣1＞1，得到
x1+x2=1 b﹣＞1，b＜0，于是确定 b= 1﹣，进而得到抛物线的解析式．
【解答】（1）证明：将 y=x2+bx+c代入 y=x，得 x=x2+bx+c，
整理得 x2+（b 1﹣）x+c=0，
∵抛物线 y=x2+bx+c与直线 y=x 交于 A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，
∴x1+x2=1 b﹣，x1•x2=c，
∵x2x﹣1＞1，
∴x2＞x1+1，
∵x1＞0，
∴x2＞0，
∴c=x1•x2＞0；
（2）解：∵b2﹣（2b+4c）=b22b 4c=﹣ ﹣ （b 1﹣）21 4c=﹣ ﹣ （1 b﹣）24c 1﹣ ﹣ ，
摘要：

第二十六章二次函数26.2（3）二次函数的图像一、基础巩固一．解答题1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+4ax+4a4﹣（a≠0）的顶点为A．（1）求顶点A的坐标；（2）过点（0，5）且平行于x轴的直线l，与抛物线y=ax2+4ax+44﹣（a≠0）交于B、C两点．①当a=1时，求线段BC的长；②当线段BC的长不小于8时，直接写出a的取值范围．【分析】（1）配方得到y=ax2+4ax+4a4=a﹣（x+2）24﹣，于是得到结论；（2）①当a=1时，抛物线为y=x2+4x，如图．令y=5解方程即可得到结论；②令y=5得到ax2+4ax+4a﹣4=5，解方程后根据线段的范围列出不等式，...

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