【沪教版数学9年级上】 习题试卷-二次函数压轴题（最新题源）（上海精编）（沪教版）（解析版）

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3.0 张卫兵 2024-09-30 5 4 2.95MB 94 页 5积分
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A一、解答题
1．（2021·上海徐汇·九年级期中）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，
它的对称轴与 轴相交于点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）如果直线 与此抛物线的对称轴交于点 、与抛物线在对称轴右侧交于点 ，且
，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，若 为抛物线上一点，且 ，直接写出点 坐标．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】
（1）由点 在抛物线 ，代入即可；
（2）由于点 是直线 和抛物线对称轴 的交点，确定出点 的坐标，再根据 得
到 ， 的长，从而求出点 坐标即可；
（3）设直线 交 轴于 ，连接 ，先证明 ，即 ，
再证明 ，接下来连接 交 轴于 ，过 作 于 ，设 ，则
，由 得 ，可求 ，此时求出 解析式，再与抛物线联立即可求
得 的坐标．
【解析】
解：（1） 点 在抛物线 上，
，
，
对称轴为 ，
；
（2） 直线 与此抛物线的对称轴 交于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
∴
，
，
设点 ，
，
，
或 （舍），
，
点 在抛物线 上，
，
，
， ，
抛物线解析式为 ；
（3）如图，设直线 交 轴于 ，连接 ，
直线 ： ，当 时， ，当 时， ，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
连接 交 y轴于 ，过 作 于 ，
，
设 ，则 ，
，
，
，解得 ，
，
，
，
，
设直线 ，代入点 ，得 ，
直线 ，
令 ，
整理得 ，
解得 或 ，
的坐标为 ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，
熟练掌握基础知识，运用方程的思想解题是关键．
2．（2021·上海市奉贤区实验中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ax22﹣ax 3﹣
与x轴和 y轴分别交于 A、B两点，抛物线的顶点为 C（c，-4），联结 AB、AC、BC．
（1）求这条抛物线的表达式和 c的值；
（2）求△ABC 的面积；
（3）在 y轴上找一个点 M（点 M不与点 B重合），使得∠AMC＝90°，并将△AMC 沿直线 AC 翻折，得到
△ANC，求点 N的坐标．
【答案】（1）y＝x22﹣x3﹣；c=1，（2）3；（3）（4，-3）
【分析】
（1）用对称轴公式求出 c的值，代入即可求出抛物线解析式；
（2）求出 A、B两点坐标，利用面积和差求出三角形面积即可；
（3）利用勾股定理求出点 M坐标，再根据中点坐标公式求出点 N的坐标即可．
【解析】
（1）抛物线 y＝ax22﹣ax 3﹣的对称轴为：直线 ，
所以，顶点横坐标 c的值为 1，顶点坐标为 C（1，-4），代入抛物线解析式得， ，
解得， ，
抛物线解析式为：y＝x22﹣x3﹣；
（2）当 x=0 时，y＝﹣3，点 B的坐标为（0，-3）；
当y=0 时，0＝x22﹣x3﹣，解得， ， ，点 A的坐标为（3，0）；
连接 OC， ；
；
；
；
（3）设点 M坐标为（0，m），
， ， ，
∵∠AMC＝90°，
∴，即 ，
解得， ， （舍去）；
∴点M坐标为（0，-1），
由翻折可知，MN⊥AC，MH＝HN，
∵， ；
∴AM＝MC，
∴AH＝HC，
∴点H坐标为 ，即 ，
设点 N坐标为（n，d），
则 ，
解得， ，
点N坐标为（4，-3）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合，包括勾股定理，求解析式，对称点的坐标，解题关键是熟练运用二次函数知
识进行计算求解，利用设坐标建立方程．
3．（2021·上海市奉贤区育秀实验学校九年级期中）已知在平面直角坐标系 xOy（如图）中，抛物线 y＝
+bx 4﹣经过点 A（4，0），与 y轴交于点 C，点 B与点 A关于这条抛物线的对称轴对称．
（1）求这条抛物线的解析式并求出点 B的坐标；
（2）连结 AC、BC，点 P在y轴上，使得当 A、C、P为顶点的三角形与△ABC 相似时，求点 P的坐标；
（3）连结 AC、BC，点 D在直线 AC 上且 tan∠BDC＝3，求点 D的坐标．
【答案】（1） ，点 B的坐标为（-2，0）；（2）当 P点坐标为（0，2）或（0， ）时，使
得当 A、C、P为顶点的三角形与△ABC 相似；（3）D点坐标为（2，-2）
【分析】
（1）把 A点坐标代入抛物线解析式求解即可得到抛物线解析式，从而得到抛物线的对称轴，再根据点 B与
点A关于这条抛物线的对称轴对称，即可求出 B点坐标；
（2）先求出 C点坐标，从而求出 OA=4，OB=2，OC=4，OA=OC，AB=6， ，
，∠ACO=∠CAO=45°，然后证明∠BCA=∠OCB+∠ACO＜90°，得到△ABC 是锐角三
角形，即可推出点 P必须在 y轴正半轴，设 P点坐标为（0，m），则 OP=m， ，再由
∠ACO=∠CAO=45°，得到△CPA∽△ABC 或△CAP∽△ABC，由此利用相似三角形的性质进行求解即可；
（3）连接 BD，过点 B作BE⊥AC 于E，先求出 ，再由 ，
得到 ，则 ， 然后求出直线 AC 的解析式为 ，设 D点坐标为
（t，t-4），则 即 ，解方程即可．
【解析】
解：（1）∵抛物线 经过 A（4，0），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵点B与点 A关于这条抛物线的对称轴对称，
∴点B的坐标为（-2，0）；
（2）令 得 ，
∴C点坐标为（0，-4），
∵A（4，0），B（-2，0），
∴OA=4，OB=2，OC=4，
∴OA=OC，AB=6，
∵∠BOC=∠AOC=90°，
∴， ，∠ACO=∠CAO=45°，
设P点坐标为（0，m），
∵OB＜OC，
∴∠OCB＜∠OBC，即∠OCB＜45°，
∴∠BCA=∠OCB+∠ACO＜90°，即△ABC 是锐角三角形，
∵以A、C、P为顶点的三角形与△ABC 相似，
∴点P必须在 y轴正半轴，
∴OP=m，
∴，
∵∠ACO=∠CAO=45°，
∴△CPA∽△ABC 或△CAP∽△ABC，
当△CPA∽△ABC 时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴P点坐标为（0，2）；
当△CAP∽△ABC 时，
∴，即
∴，
∴，
∴，
∴P点坐标为（0， ）；
综上所述，当 P点坐标为（0，2）或（0， ）时，使得当 A、C、P为顶点的三角形与△ABC 相似；
（3）如图所示，连接 BD，过点 B作BE⊥AC 于E，
摘要：

A一、解答题1．（2021·上海徐汇·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，它的对称轴与轴相交于点．（1）求点的坐标；（2）如果直线与此抛物线的对称轴交于点、与抛物线在对称轴右侧交于点，且，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，若为抛物线上一点，且，直接写出点坐标．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由点在抛物线，代入即可；（2）由于点是直线和抛物线对称轴的交点，确定出点的坐标，再根据得到，的长，从而求出点坐标即可；（3）设直线交轴于，连接，先证明，即，再证明，接下来连接交轴于，过作于，设，则，由得，可求，此时求出解析式，再与抛物线联立即可求得的坐标．【解析】解：（...

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