七年级数学下册（知识总结+练习）（沪教版）-第08讲三角形的内角和（解析版）

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第 08 讲三角形的内角和（核心考点讲与练）
一．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个
内角均大于 0°且小于 180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是 180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化
中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，
用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
二．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为 360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的
外角．
一．三角形内角和定理（共 9小题）
1．（2021 春•上海期中）如果∠A＝∠B﹣∠C，那么△ABC 是（　　）
理，特殊角三角形的计算等知识，运用分类思想是解题的关键．
9．（2021 春•奉贤区期中）在△ABC 中，若存在一个内角是另外一个内角度数的 n倍（n为大于
1的正整数），则称△ABC 为n倍角三角形．例如，在△ABC 中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C
＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC 为2倍角三角形．
（1）在△DEF 中，∠E＝40°，∠F＝35°，则△DEF 为　 3 　 倍角三角形；
（2）如图，直线 MN⊥直线 PQ 于点 O，点 A、点 B分别在射线 OP、OM 上；已知∠BAO、
∠OAG 的角平分线分别与∠BOQ 的角平分线所在的直线交于点 E、F；
①说明∠ABO＝2∠E的理由；
②若△AEF 为4倍角三角形，直接写出∠ABO 的度数．
【分析】（1）由∠E＝40°，∠F＝35°可知∠D＝105°，再根据 n倍角三角形的定义可得结论．
（2）①根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算
即可求得结果．
【点评】考查三角形的内角和定理，余角的意义，不等式组的解法和应用等知识，读懂新定
义n倍角三角形的意义和分类讨论是解决问题的基础和关键．
二．三角形的外角性质（共 5小题）
10．（2021 春•浦东新区期中）如图，E为△ABC 的BC 边上一点，点 D在BA 的延长线上，DE
交AC 于点 F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝　 34° 　 ．
【分析】先求∠DAC，再在△ADF 可得答案．
【解答】解：∵∠B＝46°，∠C＝30°，
∴∠DAC＝∠B+∠C＝76°，
∵∠EFC＝70°，
∴∠AFD＝70°，
∴∠D＝180°﹣∠DAC﹣∠AFD＝34°，
故答案为：34°．
【点评】本题考查三角形内角和定理及三角形一个外角等于不相邻的两个内角的和，解题的
关键是掌握三角形内角和定理．
11．（2021 秋•普陀区期末）如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，如果∠B＝80°，∠C＝40°，
那么∠ADC 的度数等于 　 110° 　 ．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是对相应的知
识的掌握．
12．（2020 春•浦东新区期末）已知：如图，△ABC 的两个外角的平分线交于点 P，如果∠A＝4
0°，求∠BPC 的度数．
【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝140°，根据角平分线的定义、三角形内
角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180° 40°﹣＝140°，
∴∠EBC+∠FCB＝360° 140°﹣＝220°，
∵BP、CP 是△ABC 的外角平分线，
∴∠PBC＝ ∠EBC，∠PCB＝ ∠FCB，
∴∠PBC+∠PCB＝ （∠EBC+∠FCB）＝110°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝70°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形内角和等于 180°是
解题的关键．
13．（2020 春•杨浦区期末）如图，已知点 D为△ABC 的边 BC 延长线上一点，DF⊥AB 于点 F，
交AC 于点 E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD 的度数．
解：因为 DF⊥AB（已知），
所以∠DFB＝90°（垂直的意义）．
因为∠DFB+∠B+∠D＝180°（ 　三角形内角和是
180° 　 ），
又∠D＝42°，
所以∠B＝　 48 　 °（等式性质）．
因为∠ACD＝∠A+∠B（ 　三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和　），
又∠A＝35°，∠B＝　 48 　 °，
所以∠ACD＝　 83 　 °（等式性质）．
【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．
【解答】解：因为 DF⊥AB（已知），
所以∠DFB＝90°（垂直的意义）．
因为∠DFB+∠B+∠D＝180°（三角形内角和是 180°），
又∠D＝42°，
所以∠B＝48°（等式性质）．
因为∠ACD＝∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
又∠A＝35°，∠B＝48°，
所以∠ACD＝83°（等式性质）．
故答案为：三角形内角和是 180°，48，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，4
8，83．
【点评】本题考查了三角形外角与内角的关系，三角形内角和定理．解题的关键是熟练掌握
三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形内角
和定理：三角形内角和是 180°．
14．（2019 春•闵行区期中）（1）在锐角△ABC 中，BC 边上的高所在直线和 AB 边上的高所在
直线的交点为 P，∠APC＝110°，求∠B的度数；
（2）如图 1，AF 和CE 分别平分∠BAD 和∠BCD．当点 D在直线 AC 上时，∠APC＝100°，
则∠B的度数；
（3）在（2）的基础上，当点 D在直线 AC 外时，如图 2：∠ADC＝130°，∠APC＝100°，求
∠B的度数．
【分析】（1）利用三角形的外角的性质求出∠PAE 即可解决问题．
（2）利用三角形的内角和定理求出∠PAC+∠PCA，再根据角平分线的定义求出∠BAC+∠BC
A即可解决问题．
（3）利用基本结论：∠ADC＝∠2+ 3+∠ ∠APC，∠APC＝∠1+ 4+∠ ∠B即可解决问题．
【解答】解：（1）如图 1中，
∵AF，CE 是高，
∴∠AFB＝∠AEC＝90°，
∵∠APC＝∠AEP+∠PAE，
∴∠PAE＝110° 90°﹣＝20°，
∴∠B＝90°﹣∠PAE＝90° 20°﹣＝70°．
（2）如图 2中，
∴∠APC＝100°，
∴∠PAC+∠PCA＝180° 100°﹣＝80°，
∵∠BAC＝2∠PAC，∠BCA＝2∠PCA，
∴∠BAC+∠BCA＝160°，
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180° 160°﹣＝20°．
（3）如图 3中，
∵∠ADC＝∠2+ 3+∠ ∠APC，∠APC＝∠1+ 4+∠ ∠B，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠B＝70°．
【点评】本题考查三角形的外角，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键
是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
题组 A 基础过关练
一．选择题（共 2小题）
1．（2018 春•闵行区期末）如果三角形三个内角的比为 1：2：3，那么它是（　　）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
【分析】根据比例设三个内角分别为 k、2k、3k，然后根据三角形内角和等于 180°列出方程求
出最小角，继而可得出答案．
分层提分
摘要：

第08讲三角形的内角和（核心考点讲与练）一．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．二．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的...

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